MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI 3.1. Expression de la résultante cinétique d’un système matériel Soit un solide (S) de masse m et de centre d’inertie G, en mouvement par rapport à un repère orthonormé fixe → → → R ( O, x, y, z) . Quel que soit M ∈ (S) nous avons par définition du centre d’inertie : −−→ → ∫ GMdm = 0 S Les points G et M sont Mobiles dans le repère R( O, x, y, z) , nous pouvons écrire : −−→ −−→ −−→ GM = OM − OG et leurs vitesses sont liées par la relation : → → → −−→ d GM dt −−→ −−→ −−→ d OM d OG d GM → → = − ⇔ = V ( M ) −V ( G) dt dt dt En dérivant cette expression par rapport au temps sous le signe intégrale, on obtient : −−→ d GM → → → ⎛ ⎞ ∫ dm = ∫⎜V ( M ) −V ( G) ⎟dm = 0 dt ⎝ ⎠ S S ∫ V ( M ) dm = V ( G) ∫ dm = mV ( G) ce qui donne : P mV (G) S → → S → La résultante du torseur cinétique est la quantité de mouvement du centre de la masse affectée → = de la masse totale du système : P mV (G) → → = → 3.2. Propriétés du moment cinétique 3.2.1. Théorème de Koënig Soit R 0 ( → → → O, x, y, z) un repère orthonormé fixe. Le référentiel de Koënig (appelé aussi référentiel barycentrique) R G → → → ( G, x, y, z) est le référentiel lié au centre d’inertie du solide dont les axes sont parallèles à ceux du repère fixe. 293
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI La vitesse du repère par rapport au repère R est nul : RG 0 Nous allons chercher une relation entre : - le moment cinétique du système en G dans son mouvement par rapport à R 0 - le moment cinétique du système en G dans son mouvement par rapport à R G . Soit M un point du système matériel : Sa vitesse dans le repère est donnée par : V 0 et → 0 → 0 → ( R G / R0 R ( M ) = V ( G) + V ( M ) → G → Ω ) = 0 G → z o → → y x (S) → x → z → y Son moment cinétique au point G dans R0 s’écrira : → σ G / R0 = ∫ S −−→ → 0 GM ∧V ( M ) dm Son moment cinétique au point G dans RG s’écrira : Nous avons alors : → −−→ → G G / R = ∫ GM ∧V ( M ) G S σ dm → σ G / R0 = ∫ S −−→ → → −−→ → −−→ → ⎛ 0 G ⎞ 0 G GM ∧ ⎜V ( G) + V ( M ) ⎟dm = ∫ GM ∧V ( G) dm + ∫ GM ∧V ( M ) dm ⎝ ⎠ S S or nous avons par définition du centre d’inertie : ∫ GM dm = 0 on obtient finalement : → → → → = −−→ −−→ −−→ 0 G / ∧ ( ) + ∧ ( ) = ∫ G G R ∧ ( ) 0 ∫ GM dm V G ∫ GM V M dm GM V M S S S σ S −−→ → → dm = σ G / RG → σ G R / 0 → = σ G / RG Le moment cinétique en G centre d’inertie du système est le même qu’il soit présenté dans le repère ou dans le repère R . R0 1 En un point A quelconque de l’espace nous aurons par la formule de transport : → → 0 σ A / R = σ / AG mV ( G) 0 G + ∧ Nous avons ainsi le théorème de Koënig pour le moment cinétique. R G −−→ → 294
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CLASSES PREPARATOIRES AUX GRANDES E
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