MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI −→ → −→ → −→ → −→ → → −→ → −→ 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ d = ⎜OP∧ u ⎟ • ⎜OP∧ u ⎟ = ⎜OP∧ u, OP, u ⎟ = ⎜ u, OP∧ u, OP⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → −→ → −→ → ⎛ ⎞ = ⎜u , OP, u∧ OP⎟ = u ⎝ ⎠ −→ → −→ ⎛ ⎛ ⎞⎞ • ⎜OP ∧ ⎜u ∧ OP⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ qui s’écrit sous forme : → → d 2 → −→ → −→ ⎛ ⎛ ⎞⎞ = u • V avec V = OP ∧ u ∧ OP ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ⎜ ⎝ D’après ce que l’on a vu précédemment, nous pouvons écrire : ⎡ − ⎤ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎡ 0 z y * → r ⎥ = ⎢ z 0 − x ⎣ ⎦ ⎥ ⎢⎣ − y x 0 ⎥⎦ ⎟ ⎠ d 2 → T → = • • • −→ → −→ → ⎛ ⎛ ⎞⎞ u ⎜OP ∧ ⎜u ∧ OP⎟⎟ = u ⎝ ⎝ ⎠⎠ −→ −→ → → ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜OP∧ ⎜− OP∧ u ⎟⎟ = u ⎝ ⎝ ⎠⎠ → → → → ⎡ ⎤ ( r ∧ ( − r ∧ u) = ⎢ u ⎣ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ([* r][ − * r] ) u ⎥ ⎦ or nous avons [ ] [ ] T − * r = * r d 2 → ⎡ ⎤ = ⎢ u ⎣ ⎥ ⎦ T → → T → T ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ([* r][ * r] ) u = u [ I ] u ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ O ⎢ ⎣ T ( r ) = [ I ] avec [* ][* r] O [ ] I O 2 ⎡y + z ⎢ = ⎢ − xy ⎢ ⎣ − xz 2 x − xy 2 + z − yz 2 x − xz − yz 2 + y en faisant intervenir la masse du solide, nous obtenons une matrice de la forme : 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ [ J ] 0 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∫ S ( y − − 2 ∫ S ∫ S + z 2 xydm xzdm ) dm ∫ S − ( x − ∫ S 2 ∫ S xydm + z 2 yzdm ) dm ∫ S ⎤ − ∫ xzdm ⎥ S ⎥ − ∫ yzdm ⎥ S ⎥ 2 2 ( x + y ) dm ⎥ ⎥ ⎦ qui est une matrice très particulière que l’on retrouvera dans les chapitres sur la cinétique et la dynamique des solides. Elle est appelée matrice d’inertie du solide. 39

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Exercice : 09 → → → Résoudre l’équation vectorielle : a∧ x = b où a et b sont deux vecteurs non nuls. Solution : → → L’équation n’admet de solution que si a et b sont orthogonaux. Soit ( π ) un plan → → → contenant les vecteurs a et x , alors le vecteurs b est perpendiculaire à ce plan (π ) . On cherche d’abord une solution particulière avec un vecteur x 0 tel que : a et x 0 soient → → → → → deux vecteurs perpendiculaires entre eux : → a ⊥ → → → x0 ⇒ a • x0 = 0 Alors on a aussi : → a ∧ → x 0 → = b Multiplions vectoriellement à gauche cette équation par le → a vecteur , on obtient : ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ → → → → → → → → → a ∧ ⎜ a ∧ x0 ⎟ = a ∧ b ⇔ a⎜ a • x0 ⎟ − x0 ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ → → a • a ⎟ → ⎞ = a ⎠ → ∧ b → → ⎛ − x0 ⎜ a ⎝ → → ⎞ • a ⎟ = a ⎠ → ∧ b ⇒ → x 0 = → b → ∧ a 2 a nous avons ainsi : → → → ⎧ ⎪a ∧ x0 = b ⎨ → → → ⎪⎩ a ∧ x = b en faisant la différence entre ces deux équations, nous → obtenons la solution générale x : → a ∧ → → x− a ∧ ⎛ ⎝ → → → → → x0 = 0 ⇔ a ∧ ⎜ x− x0 ⎞ ⎟ ⎠ → = 0 Comme le produit vectoriel est nul alors alors → ⎛ ⎞ a // → ⎜ x− x → 0 ⎟ d’où : ⎝ ⎠ → → x− x 0 → = λ a On a finalement : → → 0 → x = x + λ a ⇒ → → → b ∧ a → x = + λ a 2 a Représentation géométrique : → b → x 0 → a → x λ → a π 40

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