MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
−→ → −→ → −→ → −→ → → −→ → −→
2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
d = ⎜OP∧
u ⎟ • ⎜OP∧
u ⎟ = ⎜OP∧
u,
OP,
u ⎟ = ⎜ u,
OP∧
u,
OP⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
→ −→ → −→ →
⎛
⎞
= ⎜u , OP,
u∧
OP⎟
= u
⎝
⎠
−→ → −→
⎛ ⎛ ⎞⎞
• ⎜OP
∧ ⎜u
∧ OP⎟⎟
⎝ ⎝ ⎠⎠
qui s’écrit sous forme :
→ →
d 2 → −→ → −→
⎛ ⎛ ⎞⎞
= u • V avec V = OP ∧ u ∧ OP ⎟
⎠
⎜
⎝
⎜
⎝
D’après ce que l’on a vu précédemment, nous pouvons écrire :
⎡ − ⎤
⎤ ⎢
⎥
⎢
⎡ 0 z y
*
→ r
⎥
=
⎢
z 0 − x
⎣ ⎦
⎥
⎢⎣
− y x 0 ⎥⎦
⎟
⎠
d
2
→
T
→
= •
•
•
−→ → −→ →
⎛ ⎛ ⎞⎞
u ⎜OP
∧ ⎜u
∧ OP⎟⎟
= u
⎝ ⎝ ⎠⎠
−→ −→ → →
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜OP∧
⎜−
OP∧
u ⎟⎟
= u
⎝ ⎝ ⎠⎠
→ → → →
⎡ ⎤
( r ∧ ( − r ∧ u)
=
⎢
u
⎣
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
⎤
([*
r][ − * r]
) u
⎥ ⎦
or nous avons [ ] [ ] T
− * r = * r
d
2
→
⎡ ⎤
=
⎢
u
⎣
⎥
⎦
T
→ →
T
→
T ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
([*
r][ * r]
) u = u [ I ] u
⎥ ⎦
⎢
⎣
⎥
⎦
⎢
⎣
⎥
⎦
O
⎢
⎣
T
( r ) = [ I ]
avec [*
][*
r]
O
[ ]
I O
2
⎡y
+ z
⎢
= ⎢ − xy
⎢
⎣
− xz
2
x
− xy
2
+ z
− yz
2
x
− xz
− yz
2
+ y
en faisant intervenir la masse du solide, nous obtenons une matrice de la forme :
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
[ J ]
0
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
∫
S
( y
−
−
2
∫
S
∫
S
+ z
2
xydm
xzdm
) dm
∫
S
−
( x
−
∫
S
2
∫
S
xydm
+ z
2
yzdm
) dm
∫
S
⎤
− ∫ xzdm ⎥
S ⎥
− ∫ yzdm ⎥
S
⎥
2 2
( x + y ) dm
⎥
⎥
⎦
qui est une matrice très particulière que l’on retrouvera dans les chapitres sur la cinétique et
la dynamique des solides.
Elle est appelée matrice d’inertie du solide.
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