MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI • • • ⎧ ⎧ ⎪ + ⎪ x ϕ sinθ sinψ θ cosψ ⎧ 0 → • • • 0 ⎪ V ( I) = ⎨y + ⎨− ϕ sinθ cosψ + θ sinψ ∧ ⎨ 0 • • ⎪0 ⎪ ⎪ ⎩− ⎪ ⎪ ψ + ϕ cosθ a R ⎩ 0 R ⎩ 0 , on obtient finalement : → 0 V ⎧ • • • ⎛ ⎞ ⎪x − a⎜−ϕ sinθ cosψ + θ sinψ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ • • • ⎛ ⎞ ( I) = ⎨ y + a⎜ϕ sinθ sinψ + θ cosψ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ R ⎩ 0 0 4. Condition de roulement sans glissement de la sphère sur le plan. Pour que la condition de roulement sans glissement soit satisfaite il faut que la vitesse du point I soit nulle : → 0 ( I V → ) = 0 ⇔ • • • ⎧ ⎛ ⎞ ⎪ x − a⎜− ϕ sinθ cosψ + θ sinψ ⎟ = 0 ⎝ ⎠ ⎨ • • • ⎪ ⎛ ⎞ y + a⎜ϕ sinθ sinψ + θ cosψ ⎟ = 0 R ⎩ ⎝ ⎠ 0 (1) (2) On multiplie l’équation (1) par sin ψ et l’équation (2) par cos ψ puis on fait la différence des deux équations : • • • ⎧ ⎛ 2 ⎞ ⎪ xsinψ − a⎜− ϕ sinθ cosψ sinψ + θ sin ψ ⎟ = 0 ⎝ ⎠ ⎨ • • • ⎪ ⎛ 2 ⎞ y cosψ + a⎜ϕ sinθ sinψ cosψ + θ cos ψ ⎟ = 0 ⎩ ⎝ ⎠ (1) (2) • • • ( 2) − (1) ⇒ − xsin ψ + y cosψ + aθ = 0 comme nous avons aussi : sinψ = y et 2 2 x + y • • y x − x y • L’équation devient : + aθ = 0 2 2 x + y cosψ = x 2 x + y 2 245
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Exercice 03 : Soit le système mécanique composé d’une tige OO 2 de longueur L et d’une plaque rectangulaire de dimension 2a et 2b articulée en O 2 avec la tige (voir figure). étant le repère fixe ; R en → ψ z 0 rotation de autour de . La plaque tourne autour de la tige à une vitesse angulaire . • • • On donne ψ = Cte ; θ = Cte ; ϕ = Cte 1) Déterminer les matrices de passage de vers et de vers R ; R1 R2 R3 2 → 0 R0 1 2) Déterminer le vecteur rotation instantané de par rapport à exprimé dans R ; → 0 V 2 R3 R0 2 3) Déterminer par dérivation la vitesse (O ) exprimée dans le repère ; 4) Déterminer par la cinématique du solide la vitesse V (A) par rapport à R0 exprimée R2 ; 5) Déterminer par dérivation et par la cinématique du solide (O 2 ) exprimée dans le repère R . → x 0 → z Solution : 0 O ψ θ O 2 → x 1 ψ → → z 2 ≡ z 3 → → y 1 ≡ y 2 → y 0 La tige : OO = L ; La plaque : Longueur 2a , Largeur 2b → → → 0 ( 0 0 0 R O, x , y , z ) : repère fixe ; → → → 1( 1 1 1 2 R O, x , y , z ) : repère en rotation autour de l’axe par rapport au repère → → → 2 ( 2 2 2 → z 1 O θ θ → z 2 → x 2 R 2 → γ 0 2 → x 1 2b O 2 2a → x ϕ 2 ϕ → z0 R0 R O, x , y , z ) : repère lié à la tige, en rotation autour de l’axe par rapport à → y → y1 R1 3 → x 3 • ϕ → y 2 246
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CLASSES PREPARATOIRES AUX GRANDES E
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Préface Quand Ali KADI m’a amica
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