MECANIQUE RATIONNELLE
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI 1. Les figures planes : R1 0 a) Passage du repère vers R : la rotation se fait autour de l’axe Matrice de passage du repère R1 vers R0 ⎛ ⎜ x ⎜ ⎜ y ⎜ z ⎝ → 1 → 1 → 1 ⎞ ⎟ ⎛ cosψ sinψ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜− sinψ cosψ ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 ⎠ P R 1→ R 0 ⎛ 0⎞⎜ x ⎟⎜ 0⎟⎜ y 1⎟⎜ ⎠ z ⎝ → 0 → 0 → 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ → → z 1 ≡ z 0 → x 0 G ψ → → z 0 ≡ z 1 ψ → x 1 → y 1 → y 0 → → b) Passage du repère R2 vers R1 : la rotation se fait autour de l’axe x 1 ≡ x 2 Matrice de passage de R2 vers R1 → → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ x2 ⎟ ⎛1 0 0 ⎞⎜ x1 ⎟ ⎜ → ⎟ ⎜ ⎟⎜ → ⎟ ⎜ y2 ⎟ = ⎜0 cosθ sinθ ⎟⎜ y1 ⎟ → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ z ⎝0 − sinθ cosθ 2 ⎠ z1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ P R 2→ R 1 → → x 1 ≡ x 2 → y 1 G θ θ → y 2 → z 2 → z 1 c) Passage du repère vers R : la rotation se fait autour de l’axe RS 2 → → z 2 ≡ z s → y s Matrice de passage de → ⎛ ⎞ ⎜ xs ⎟ ⎛ cosϕ ⎜ → ⎟ ⎜ ⎜ ys ⎟ = ⎜− sinϕ → ⎜ ⎟ ⎜ z ⎝ 0 s ⎝ ⎠ P R → s R 2 sinϕ cosϕ 0 R vers R2 s ⎛ 0⎞⎜ x ⎟⎜ 0⎟⎜ y 1⎟⎜ ⎠ z ⎝ → 2 → 2 → 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ → → z 2 ≡ z s G → x 2 ϕ ϕ → x s → y 2 243
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI 2. Vecteur rotation instantané de la sphère dans le repère R0 → → → → • → • → • → 0 2 1 0 Ω s = Ω s + Ω2 + Ω1 = ϕ z2 + θ x1 + ψ z0 → → x1 z 0 0 Exprimons et dans le repère R . D’après les matrices de passage nous avons : → → → x1 = cosψ x0 + sinψ y0 ⎛ ⎝ → → → → → → z2 = −sinθ y1+ cosθ z1 = −sinθ ⎜− sinψ x0 + cosψ y0 ⎟ + cosθ z0 → → → → z2 = sinθ sinψ x0 − sinθ cosψ y0 + cosθ z0 ⎞ ⎠ ce qui donne : → • → → → • → → • → 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Ω s = ϕ⎜sinθ sinψ x0 − sinθ cosψ y0 + cosθ z0 ⎟ + θ ⎜cosψ x0 + sinψ y0 ⎟ + ψ z0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → • • → • • → • • → 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Ω s = ⎜ϕ sinθ sinψ + θ cosψ ⎟ x0 + ⎜− ϕ sinθ cosψ + θ sinψ ⎟ y0 + ⎜ψ + ϕ cosθ ⎟ z0 → 0 s Ω ⎝ • • ⎧ ⎪ ϕ sinθ sinψ + θ cosψ • • = ⎨−ϕ sinθ cosψ + θ sinψ • • ⎪ ⎪ ψ + ϕ cosθ R ⎩ 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3. Vitesse du point de contact I de la sphère avec le plan fixe Les points G et I appartiennent à la sphère. Par la cinématique du solide, nous pouvons connaître la vitesse du point I à partir de celle de G, en effet nous avons : → 0 V → 0 → 0 s −→ ( I) = V ( G) + Ω ∧ GI Avec : • ⎧ ⎧x −→ −→ ⎪ x → 0 • ⎪ 0 d OG OG= ⎨y ⇒ V ( G) = = ⎪ R ⎩a 0 ⎪ ⎪ ⎨y dt 0 R ⎩ 0 ⎧x −→ −→ ⎪ et OI= ⎨y ⇒ GI = ⎪ R ⎩0 R 0 0 ⎧ 0 ⎪ ⎨ 0 ⎪ ⎩− a 244
- Page 199 and 200: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 201 and 202: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 203 and 204: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 205 and 206: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 207 and 208: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 209 and 210: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 211 and 212: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 213 and 214: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 215 and 216: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 217 and 218: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 219 and 220: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 221 and 222: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 223 and 224: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 225 and 226: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 227 and 228: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 229 and 230: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 231 and 232: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 233 and 234: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 235 and 236: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 237 and 238: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 239 and 240: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 241 and 242: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 243 and 244: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 245 and 246: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 247 and 248: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 249: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 253 and 254: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 255 and 256: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 257 and 258: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 259 and 260: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 261 and 262: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 263 and 264: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 265 and 266: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 267 and 268: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 269 and 270: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 271 and 272: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 273 and 274: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 275 and 276: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 277 and 278: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 279 and 280: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 281 and 282: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 283 and 284: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 285 and 286: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 287 and 288: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 289 and 290: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 291 and 292: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 293 and 294: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 295 and 296: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 297 and 298: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
- Page 299 and 300: UMBB Boumerdès, Faculté des scien
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />
A.KADI<br />
1. Les figures planes :<br />
R1<br />
0<br />
a) Passage du repère vers R : la rotation se fait autour de l’axe<br />
Matrice de passage du repère R1<br />
vers R0<br />
⎛<br />
⎜ x<br />
⎜<br />
⎜ y<br />
⎜<br />
z<br />
⎝<br />
→<br />
1<br />
→<br />
1<br />
→<br />
1<br />
⎞<br />
⎟ ⎛ cosψ<br />
sinψ<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ = ⎜−<br />
sinψ<br />
cosψ<br />
⎟ ⎜<br />
⎝ 0 0<br />
⎠<br />
P<br />
R 1→<br />
R 0<br />
⎛<br />
0⎞⎜<br />
x<br />
⎟⎜<br />
0⎟⎜<br />
y<br />
1⎟⎜<br />
⎠<br />
z<br />
⎝<br />
→<br />
0<br />
→<br />
0<br />
→<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
→ →<br />
z 1 ≡ z 0<br />
→<br />
x 0<br />
G<br />
ψ<br />
→ →<br />
z 0 ≡ z 1<br />
ψ<br />
→<br />
x 1<br />
→<br />
y<br />
1<br />
→<br />
y<br />
0<br />
→ →<br />
b) Passage du repère R2<br />
vers R1<br />
: la rotation se fait autour de l’axe x 1 ≡ x 2<br />
Matrice de passage de R2<br />
vers R1<br />
→<br />
→<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ x2<br />
⎟ ⎛1<br />
0 0 ⎞⎜<br />
x1<br />
⎟<br />
⎜ → ⎟ ⎜<br />
⎟⎜<br />
→ ⎟<br />
⎜ y2<br />
⎟ = ⎜0<br />
cosθ<br />
sinθ<br />
⎟⎜<br />
y1<br />
⎟<br />
→<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎟<br />
→<br />
⎜ ⎟<br />
z<br />
⎝0<br />
− sinθ<br />
cosθ<br />
2<br />
⎠<br />
z1<br />
⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠<br />
P<br />
R 2→<br />
R 1<br />
→ →<br />
x 1 ≡ x 2<br />
→<br />
y 1<br />
G<br />
θ<br />
θ<br />
→<br />
y 2<br />
→<br />
z<br />
2<br />
→<br />
z 1<br />
c) Passage du repère vers R : la rotation se fait autour de l’axe<br />
RS<br />
2<br />
→ →<br />
z 2 ≡ z s<br />
→<br />
y<br />
s<br />
Matrice de passage de<br />
→<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ xs<br />
⎟ ⎛ cosϕ<br />
⎜ → ⎟ ⎜<br />
⎜ ys<br />
⎟ = ⎜−<br />
sinϕ<br />
→<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
z<br />
⎝ 0<br />
s<br />
⎝ ⎠<br />
P<br />
R<br />
→ s<br />
R 2<br />
sinϕ<br />
cosϕ<br />
0<br />
R vers R2<br />
s<br />
⎛<br />
0⎞⎜<br />
x<br />
⎟⎜<br />
0⎟⎜<br />
y<br />
1⎟⎜<br />
⎠<br />
z<br />
⎝<br />
→<br />
2<br />
→<br />
2<br />
→<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
→ →<br />
z 2 ≡ z s<br />
G<br />
→<br />
x 2<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
→<br />
x<br />
s<br />
→<br />
y<br />
2<br />
243