MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
avec [ ] [ ][ ] T
u = * u * u
P
Développons cette expression :
[ u ] = [*
u][ * u]
P
T
⎡ 0
=
⎢
⎢
u3
⎢⎣
− u
2
− u
0
u
1
3
u
2
− u
0
1
⎤⎡
0
⎥⎢
⎥⎢
− u
⎥⎦
⎢⎣
u2
3
u
3
0
− u
1
− u
u
1
0
2
⎤
⎥
⎥
=
⎥⎦
2
⎡u2
⎢
⎢ −
⎢
⎣
−
+ u
u u
1
u u
1
2
3
2
3
− u u
u
2
1
1
+ u
− u u
2
2
2
3
3
− u u
u
2
1
1
2
3
− u u
+ u
3
2
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
sachant que : u
1
+ u2
+ u3
= 1 alors : u
2
+ u3
= 1−
u1
, u
1
+ u3
= 1−
u2
, u
1
+ u2
= 1−
u
u P
La matrice [ s’écrira :
]
2
3
[ ]
u P
2
⎡1−
u1
⎢
= ⎢−
u1u2
⎢
⎣
− u1u3
[ u ] = [] 1 − [ u][ u] T
p
− u u
1 2
2
2
1−
u
− u u
or nous avons [ u * u * u
P
2
3
− u ⎤
1u3
⎡1
0
⎥
− u =
⎢
2u3
⎥ ⎢
0 1
2
1−
u ⎥
⎦
⎢
3 ⎣0
0
2
0⎤
⎡ u1
⎢
0
⎥
⎥
− ⎢−
u1u
1⎥⎦
⎢
⎣
− u1u
] = [ ][ ] T
⇒ [*
u][ * u] T
= [ 1] − [ u][ u] T
2
3
− u u
1 2
2
2
u
− u u
T
T
finalement : [* u ][ * u] + [ u][ u] = [ 1]
2
3
− u ⎤
1u3
⎥
− u2u3
⎥
2
u ⎥
3 ⎦
5) Expression de la distance d du point P à l’axe Δ(
O,
u)
→
−→
d = HP
−→
Calculons le produit vectoriel : OP ∧ u
−→
Le vecteur OP a pour composantes :
−→ → −→ −→ → −→ →
⎛ ⎞
OP ∧ u = ⎜OH
+ HP⎟
∧ u = HP∧
u
⎝ ⎠
→
⎧x
⎪
OP
−→
= → r = ⎨y
⎪
R ⎩z
→
u
H
O
(Δ)
P
−→
→
−→
→
−→
HP ∧ u = HP u sin 90°
= HP = d
nous avons alors :
d 2
−→ →
⎛ ⎞
= ⎜OP∧
u ⎟
⎝ ⎠
cette expression.
−→ →
⎛ ⎞
• ⎜OP∧
u ⎟
⎝ ⎠
nous allons utiliser la règle du produit mixte afin de développer
38