MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI EXERCICES ET SOLUTIONS Exercice 01 : → → → 0 ( 0 0 0 → → → 1( 1 2 3 Soient t R O, x , y , z ) un repère orthonormé fixe et R O, e , e , e ) un repère en mouvement par rapport au repère fixe avec une vitesse de rotation ω . → Montrer que : → ⎛ 1 → ⎜ d e ω = ⎜ e1 ∧ 2 dt ⎝ → 1 → + e 2 → d e ∧ dt 2 → + e 3 → d e ∧ dt 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Solution : → → d e → → → → → → → → → → → → → 1 ⎛ ⎞ Nous avons : e1 ∧ = e1 ∧ ⎜ω ∧ e1 ⎟ = ω( e1 • e1 ) − e1 ( ω • e1 ) = ω− e1 ( ω • e1 ) dt ⎝ ⎠ → → d e2 e2 ∧ dt → → d e3 e3 ∧ dt → = e 2 → = e 3 → ⎛ ∧ ⎜ω ∧ e ⎝ → → ⎛ ∧ ⎜ω ∧ e ⎝ → 2 3 → → → → → → → → → → ⎞ ⎟ = ω( e2 • e2 ) − e2 ( ω • e2 ) = ω− e2 ( ω • e2 ) ⎠ → → → → → → → → → → ⎞ ⎟ = ω( e3 • e3) − e3( ω • e3) = ω− e3( ω • e3) ⎠ Faisons la somme des trois expressions en sachant que : ω nous obtenons : → → → → d e → → → → → → → → → → → → 1 d e2 d e3 e 1∧ + e2 ∧ + e3 ∧ = 3 − ( ω • e1 ) e1 + ( ω • e2 ) e2 + ( ω • e3) e3 dt dt dt → → → → → → → → → → = ( ω • e1 ) e1 + ( ω • e2 ) e2 + ( ω • e3 ) e3 ω == 3ω−ω = 2ω → → → → ⎛ 1 → ⎜ d e ω = ⎜ e1 ∧ 2 dt ⎝ → 1 → + e 2 → d e ∧ dt 2 → + e 3 → d e ∧ dt 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 241

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Exercice 02 : Une sphère (S) pleine et homogène, de centre G, de rayon a, roule de manière quelconque sur un plan fixe horizontal (P). Soit → → → R0 ( O, x0 , y0 , z0 ) un repère orthonormé fixe lié au plan tel que → → → → z0 ⊥ ( P) . Soit R ( G, x , y , z ) un repère orthonormé direct, lié à la sphère tel que : −−→ → 0 → OG = x x + y y + a z 0 S → 0 s s s ) . L’orientation du repère par rapport à R se fait par les angles RS 0 d’Euler classiques ψ , θ , ϕ . On prendra comme repère de projection. R 0 1. Etablir les figures planes de rotation de la sphère ; 2. Donner l’expression du vecteur rotation instantané de la sphère ; 3. Déterminer la vitesse du point de contact I de la sphère avec le plan fixe. 4. Ecrire la condition de roulement sans glissement de la sphère sur le plan. → z 0 o → x 0 → y 0 G • • I P Solution : (S) : est une sphère homogène de rayon a ; (P) : un plan fixe ; OG = x x + y y + a z ) −−→ → 0 → 0 → 0 → → → 0 ( 0 0 0 → → 0 , 0 P R O, x , y , z ) : repère fixe ; ( x y ) ∈ ( ) et → z0 ⊥( P) → → → R ( G, x , y , z ) : repère lié à la sphère. S s s s Le passage du repère R vers le repère se fait par trois rotations utilisant les angles d’Euler ( ψ , θ , ϕ) et deux repères intermédiaires et S R 0 R1 R2 242

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