MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI → x 0 • ψ → → z 0 ≡ z 1 O ψ β C I → → x 1 ≡ x 2 • θ ψ M → y 1 → → z 1 ≡ z 2 → y 0 → z 1 O β → z 2 β → y 2 → y 1 → y 3 θ → y 2 R C M θ → x 3 → x 2 Solution : 1. Les matrices de passage de vers et de vers R ; R1 R2 R3 2 → → → R0 ( 0 0 0 2 Nous avons : OC = h et x , y , z ) un repère fixe et R : le repère de projection. → → → R1 ( x1, y1, z1) → → → → → → → • → • → • 0 : tel que : z 0 ≡ z 1 et ( x0 , x1 ) = ( y0 , y1) = ψ avec Ω 1 = ψ z0 = ψ z1 , ψ = Cte → → → → → → → → → → → • 1 R 2 ( x2 , y2 , z2 ) : tel que : x 1 ≡ x 2 et ( y 1, y2 ) = ( z1, z2 ) = β = Cte avec Ω 2 = 0 , β = 0 → → → 3 ( 3 3 3 → → 2 ≡ z 3 → → → → ( 2 3 2 y3 → • → • → Ω3 2 z3 2 R x , y , z ) : tel que : z et x , x ) = ( y , ) = θ avec = θ z = θ , • θ = Cte Matrice de passage de R1 vers R2 → → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ x1 ⎟ ⎛1 0 0 ⎞⎜ x2 ⎟ ⎜ → ⎟ ⎜ ⎟⎜ → ⎟ ⎜ y1 ⎟ = ⎜0 cos β sin β ⎟⎜ y2 ⎟ → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ z ⎝0 − sin β cos β 1 ⎠ z2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ P R 1→ R 2 → z 1 O β → z 2 β → y 1 Matrice de passage de → ⎛ ⎞ ⎜ x3 ⎟ ⎛ cosθ sinθ ⎜ → ⎟ ⎜ ⎜ y3 ⎟ = ⎜− sinθ cosθ → ⎜ ⎟ ⎜ z3 ⎝ 0 0 ⎝ ⎠ P R 3→ R 2 R vers R2 3 ⎛ 0⎞⎜ x ⎟⎜ 0⎟⎜ y 1⎟⎜ ⎠ z ⎝ → 2 → 2 → 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ → y 3 θ → y 2 C R M θ → x 3 → x 2 → y 2 273

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI 2. Vitesse et accélération du point C par dérivation ; 2.1. Vitesse ⎧0 −→ −→ ⎪ Nous avons : OC= ⎨0 , OM ⎪ R ⎩h 2 ⎧0 −→ −→ ⎪ = OC+ CM = ⎨0 ⎪ R ⎩h 2 ⎧R cosθ ⎪ + ⎨Rsinθ = ⎪ R ⎩ 0 2 ⎧R cosθ ⎪ ⎨Rsinθ ⎪ R ⎩ h 2 → 0 V −→ −→ 0 2 → d OC d OC −→ 0 ( C) = = + Ω 2 ∧ OC , avec : dt dt → → → • → 0 1 0 Ω 2 = Ω 2 + Ω1 = ψ z1 → → or : z1 = −sin β y2 + cos β z2 d’où : → → 0 Ω 2 = R 2 ⎧ ⎪ ⎨− ⎪ ⎩ 0 • ψ • ψ sin β cos β → 0 V ⎧ 0 ⎪ • ( C) = ⎨−ψ sin β ∧ • ⎪ R ⎩ ψ cos β R 2 2 ⎧0 ⎪ ⎨0 ⎪ ⎩h • ⎧ ⎪ − ψ hsin β = ⎨ 0 ⎪ 0 R ⎪⎩ 2 2.2. Accélération : → 0 γ ( C) = d → 0 0 V ( C) dt = d → 2 0 → V ( C) + Ω dt 0 2 → 0 ∧V ( C) → 0 γ ( C) = R 2 ⎧ ⎪ ⎨− ⎪ ⎩ 0 • ψ • ψ sin β cos β ∧ • ⎧ ⎪ − ψ hsin β ⎨ 0 ⎪ 0 R ⎪⎩ 2 ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ R ⎩ 2 0 • 2 −ψ hsin β cos β • 2 −ψ hsin β sin β 3. Vitesse et accélération du point M par composition de mouvement ; 3.1 Vitesse : → 0 2 0 Nous avons : V ( M ) = V ( M ) + V ( M ) , → → 2 avec: ⎧R cosθ −→ ⎪ OM = ⎨Rsinθ ⎪ R ⎩ h 2 ⇒ → 2 V ( M ) = • ⎧ → ⎪ − Rθ sinθ 2 d OM • = ⎨ Rθ cosθ dt ⎪ 0 R ⎪⎩ 2 274

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