MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Le triangle CAI est rectangle en C car il est inscrit à l’intérieur d’un cercle de diamètre CI. Le triangle COA est isocèle : OC = OA= R , les angles ( CO , CA) = ( AO, AC) = ( AD, AC) = α Le triangle COI est isocèle : OC = OI = R , les angles ( CO , CI ) = ( IO, IC) = 2α On déduit facilement les coordonnées du point I tel que : −→ OI = R 0 ⎧xI ⎨ ⎩ yI = R cos 2α = Rsin 2α 2. Coordonnées du C.I.R. analytiquement : On sait que la vitesse du centre instantané de rotation (C.I.R.) de la barre est nul : → 0 → 0 → 0 1 −→ → V ( I) = V ( A) + Ω ∧ AI = 0 ; Déterminons d’abord la vitesse du point A : −→ = Nous avons : OA • ⎧ ⎪ 2Rα sin 2α • ⎨− 2Rα cos 2α ⎪ 0 R ⎪⎩ 0 R 0 ⎧− ⎪ ⎨− ⎪ ⎩ + R cos 2α Rsin 2α ⇒ R 0 0 ⎧0 ⎪ ⎨0 ⎪ ⎩α ∧ • • ⎧ ⎪ 2Rα sin 2α −→ • 0 V ( A) = ⎨− 2Rα cos 2α ⎪ 0 R ⎪⎩ ⎧xI + R cos 2α ⎧0 ⎪ ⎪ ⎨ yI + Rsin 2α = ⎨0 ⎪ ⎪ R ⎩ 0 R ⎩0 0 0 0 et −→ = AI R 0 ⎧xI ⎪ ⎨ yI ⎪ ⎩ + R cos 2α + Rsin 2α 0 • − • α 2 Rα sin 2α α( yI + Rsin 2 ) = 0 ⇒ y I = Rsin 2α • • − 2 Rα cos 2α + α( xI + R cos 2α ) = 0 ⇒ x I = R cos2α 3. Vitesse du point C de la barre → 0 0 0 Nous avons : V ( C) = V ( I ) + Ω ∧ IC ; or : → → 1 −→ → → V 0 ( I) = 0 ⎧0 → → −→ 0 0 ⎪ V ( C) = Ω1 ∧ IC= ⎨0 ∧ • ⎪ R ⎩α 0 R 0 ⎧ R − R cos 2α ⎪ ⎨− Rsin 2α ⎪ ⎩ 0 • ⎧ ⎪ Rα sin 2α • = ⎨Rα ⎪ 0 R ⎪⎩ 0 ( 1− cos 2α ) 271
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Exercice 12 : Soit un système constitué d’un cylindre fixe de rayon R lié au repère R O, x , y , z ) et d’un disque de masse m de rayon r lié au repère autour du cylindre comme représenté sur la figure ci-dessous. Déterminer : → → → 0 ( 0 0 0 1. La matrice d’inertie du disque au point O, dans le repère R O, x , y , z ); → → → R2 ( B, x2 , y2 , z2 ) en mouvement de rotation → → → 1( 1 1 1 • • 2. La relation entre ψ et ϕ exprimant la condition de non glissement du disque au point I ; 3. La vitesse et l’accélération du point M par composition de mouvement. → y 0 ψ r C I → y 1 θ → y 2 R O → x 0 Exercice 13 : Un cône homogène de hauteur h, de rayon de base R est en mouvement de rotation autour de → • l’axe vertical z0 d’un repère orthonormé fixe, avec une vitesse angulaire ψ = Cte . L’axe principal du cône est incliné d’un angle β constant par rapport à cet axe. Le cône tourne • aussi autour de son axe principal avec une vitesse angulaire θ = Cte figure ci-dessous. Le repère R 2 est le repère relatif. comme représenté sur la On prendra aussi le repère R 2 comme repère de projection. Déterminer : 1. Les matrices de passage de vers et de vers R ; R1 R2 R3 2 2. La vitesse et l’accélération du point C par dérivation ; 3. La vitesse et l’accélération du point M par composition de mouvement ; 272
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