MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
⎡ 0
⎢
⎢
3
⎢⎣
− u
− u
W − →
= [* u] V
→
avec : [*
u] = u 0 − u opérateur produit vectoriel.
→
V u
2
u
3) Expression du vecteur , projection de V sur l’axe Δ(
O,
u)
dans R
1
3
u
2
0
1
→
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
→
Nous avons :
→
V u
⎛ ⎞
= ⎜ u
⎝ ⎠
→ → →
V • u ⎟
→
→
⎛
= ⎜V
⎝
→ →
→
→ → →
⎞
⎛
⎞
V u
• u ⎟ u = ( u1V1
+ u2V2
+ u3V3
) u = ( u1V1
+ u2V2
+ u3V3
) ⎜u1
e1
+ u2
e2
+ u3
e3
⎟
⎠
⎝
⎠
( ) ( ) ( ) →
2
→ 2
→
2
= u
1V1
+ u1u2V2
+ u1u3V3
e1
+ u1u2V1
+ u2V2
+ u2u3V3
e2
+ u1u3V1
+ u2u3V2
+ u3V3
e3
⎛ u1
⎞
⎜ ⎟
= ⎜u2
⎟ 1 2 3
V
⎜ ⎟
⎝u3
⎠
( ) → T
u u u V = [][ u u ] →
Nous avons donc : [ u ]
P
=
⎛ u
⎜
⎜
⎜
⎝u
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
T
[ u][ u ] = u ( u u u )
2
2
1
2
3
2
⎡ u1
⎢
= ⎢u1u
⎢
⎣u1u
2
3
u u
1 2
2
u2
u
2
u
3
u ⎤
1u3
⎥
u2u3
⎥
2
u ⎥
3 ⎦
→
V π
4) Expression du vecteur , projection de V sur le plan (π ) orthogonal à → u
Le vecteur
→
V
→
a deux composantes, l’une perpendiculaire au plan elle est portée par l’axe
(Δ)
et l’autre dans le plan (π ) .
Nous avons alors :
⎛
⎝
⎞
⎠
→ → → → → → →
V = Vu
+ Vπ
= ⎜V
• u ⎟ u + Vπ
→ → → → → → → → → → →
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
V
π
= V − ⎜V
• u ⎟ u = ⎜ u • u ⎟V
− ⎜V
• u ⎟ u , on retrouve la forme du double produit
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
→ → → →
⎛ ⎞
vectoriel d’où : = u∧
⎜V
∧ u ⎟ . Le produit vectoriel est anticommutatif, alors :
⎝ ⎠
V π
[
→ → → →
] →
→
→
⎧ ⎫
V ∧ u = − u∧V
= − * u V , ce qui donne : V
π = [*
u] ⎨ − [*
u]
V ⎬
⎩ ⎭
* u T = −[ * u]
mais nous savons que : [ ] on a finalement :
T
{ } V
→
[ u ] →
⎧ T
[ ] [ ] → ⎫
= * u ⎨ * u V ⎬ = [*
u][ * u]
P
V
⎩ ⎭
V
→ π
=
37