MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
9.2. Mouvement de rotation pur autour d’un axe du solide
9.2.1. Vitesse d’un point P du solide
Un solide ( ) lié à un repère R ( O , x , y , z ) est dit en mouvement de rotation pur par
S k
→
→
→
k
k
→
k
→
k
rapport à un repère R ( O , x , y , z ) si un axe de R ( O , x , y , z ) reste fixe à tout instant et
i
i
i
i
i
→
k
k
k
→
k
→
k
→
k
d’une manière permanente dans le repère
→
→
→
R ( O , x , y , z ) . Nous avons donc deux points
i
i
i
i
i
distincts O
k
et I du solide ( S k
) qui restent fixe dans le repère R ( O , x , y , z ) au cours du
mouvement de rotation.
→
→
→
Le repère R ( O , x , y , z ) est en rotation pur par rapport au repère R ( O , x , y , z ) à une
k
k
k
k
k
• →
• →
i
vitesse angulaire donnée par : Ω = ψ z = ψ z et V
→
k
i
k
→
i
( Ok
→
) = 0
Soit P un point quelconque du solide et n’appartenant pas à l’axe de rotation tel que :
i
i
i
→
i
→
i
i
→
→
i
i
→
i
→
i
−→ →
IP = r xk
→ →
Quel que soit I ∈ z i
et z , on peut écrire :
k
→
z ,
→
i
z k
( S k )
→
i
→
i
→
i
k
−−→
V ( I)
= V ( O ) + Ω ∧ O I , or nous avons :
→
i
−−→
O k
I
k
→
−−→
i
Ωk // ⇒ Ω
k
∧ O k
I = 0 d’où :
→ →
i
i
( I)
V ( Ok
V
→
= ) = 0
k
→
→
x i
I P
O i =O k
ψ
ψ
→
x
k
→
y
i
I et P sont deux points du solide, nous pouvons alors écrire :
→
i
→
i
→
i
k
−→
→
i
k
V ( P)
= V ( I)
+ Ω ∧ IP = Ω ∧ IP ⇒ V ( P)
= Ω ∧ IP
→
−→
−→
i
On remplace Ω et IP par leurs expressions, la vitesse du point P devient :
→
k
→ −→ • → → • →
=
k
k k
k
i
i
V ( P)
Ω ∧ IP = ψ z ∧ r x = rψ
y
Dans un mouvement de rotation pur, le torseur des vitesses est équivalent au torseur glisseur
→
i
→
i
k
−→
C
→
⎧
→
i
⎪Ω
≠ 0
= ⎨ → →
⎪
i
⎩V
( I)
= 0
k
défini par : [ ] avec
k / i P
→
→
I ∈ z i
et z
k
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