MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Dans le repère R i nous avons : −−−→ −−−→ −−−→ i Bk = Oi Ak + Ak Bk −−−→ −−−→ −−−→ k k i k i k = O ⇒ A B = O B − O A Cte Dans le repère R k nous avons : −−−→ −−−→ −−−→ k Bk = Ok Ak + Ak Bk −−−→ −−−→ −−−→ k k k k k k = O ⇒ A B = O B − O A Cte Des deux expressions nous pouvons déduire une relation entre les vitesses des deux points appartenant au solide. Les vitesses des deux points par rapport au repère R i sont données par: −−−→ → i i d Oi Ak V ( Ak ) = et dt Ses deux expressions peuvent s’écrire sous la forme : → i V ( B ) = k d i −−−→ O B i dt k → i −−−→ −−−→ i k → d O −−−→ i Ak d Oi Ak i = = + Ω k ∧ Oi Ak V ( Ak ) ………..(1) dt dt → i −−−→ −−−→ i k → d O −−−→ i Bk d Oi Bk i = = + Ω k ∧ Oi Bk V ( Bk ) ………..(2) dt dt En faisant la différence entre les deux expressions (2) - (1) : on aboutit à : −−−→ i ⎛ ⎜ − → → d Oi Bk d i i ⎝ V ( Bk ) −V ( Ak ) = dt i −−−→ O A −−−→ −−−→ i ⎛ ⎞ d ⎜O − −−−→ i Bk Oi Ak ⎟ i or on sait que : ⎝ ⎠ d Ak Bk = = 0 dt dt i k ⎞ ⎟ ⎠ → −−−→ −−−→ i ⎛ + Ω k ∧ ⎜Oi Bk − Oi Ak ⎝ car −−−→ i k ⎞ ⎟ ⎠ −−−→ O B − O A On obtient ainsi la relation de distribution des vitesses dans un solide : → i k → → −−−→ i i = V ( Ak + Ω k ∧ Ak Bk V ( B ) ) i k −−−→ = A B Cette relation est d’une grande importance dans la cinématique et la dynamique des solides. Elle permet, à partir de la vitesse d’un point du solide de déduire la vitesse de tous les autres points du solide en connaissant la vitesse de rotation du repère lié à celui-ci. Remarques : → i a) Si le vecteur rotation instantané Ω = 0 , alors le solide est en mouvement de translation k i i pur et tous les points du solide ont la même vitesse : V B ) = V ( A ) ; → ( k → → → −−−→ = k i k → → ( k k i i i b) Si V A ) = 0 et V ( B ) Ω ∧ A B , on dit que le solide est en mouvement de rotation pur autour du point A ∈ S ) ; → k k ( k k k 227
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI c) Le mouvement quelconque (général) d’un solide peut être décrit comme étant composé i d’un mouvement de translation du point A ∈ S ) à la vitesse V A ) et d’un k ( k → ( k mouvement de rotation autour du point A ∈ S ) à la vitesse de rotation k ( k → i Ω k . 7.2. Equiprojectivité du champ des vitesses d’un solide Nous pouvons le montrer par deux méthodes différentes. i a) Nous avons montré précédemment que V ( B ) → k → → −−−→ i i = V ( Ak ) + Ω k ∧ Ak Bk En multipliant cette expression par le vecteur A −−−→ B k k , nous obtenons : −−−→ → −−−→ i i A B • V ( B ) = A B • V ( A ) + A k k k k k → k ⎛ ⎜Ω ⎝ −−−→ → i k Bk • k −−−→ ∧ A B Par permutation circulaire du produit mixte, nous pouvons facilement voir que l’expression : −−−→ → i k Bk • ⎜ k A → ⎛ −−−→ ⎞ −−−→ −−−→ → i ⎛ ⎞ Ω ∧ Ak Bk ⎟ = Ω k • ⎜ Ak Bk ∧ Ak Bk ⎟ = 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −−−→ → −−−→ → ( k k k k i i On obtient ainsi l’égalité : A B • V B ) = A B • V ( A ) k k (propriété d ‘équiprojectivité du champ des vitesses du solide) k k ⎟ ⎠ ⎞ b) Cette expression peut être retrouvée d’une autre façon. Le solide ( ) est indéformable S k et la distance A −−−→ B k k est constante alors : ⎛ d⎜ Ak B ⎝ dt −−−→ k 2 ⎞ ⎟ ⎠ = 0 → z i → i ( Ak V ) → B k i V ( Bk ) A k ( S k ) ⎛ d⎜ Ak B ⎝ dt −−−→ k 2 ⎞ ⎟ ⎠ −−−→ = 2 A B k k d A −−−→ k dt B k = 0 O i → x i → y i −−−→ → → ⎛ ⎞ −−−→ → −−−→ → i i i i 2 A k Bk • ⎜V ( Bk ) −V ( Ak ) ⎟ = 0 d’où Ak Bk • V ( Bk ) = Ak Bk • V ( Ak ) ⎝ ⎠ 228
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