MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
Dans le repère R i
nous avons :
−−−→ −−−→ −−−→
i
Bk
= Oi
Ak
+ Ak
Bk
−−−→ −−−→ −−−→
k k i k i k
=
O ⇒ A B = O B − O A Cte
Dans le repère R k
nous avons :
−−−→ −−−→ −−−→
k
Bk
= Ok
Ak
+ Ak
Bk
−−−→ −−−→ −−−→
k k k k k k
=
O ⇒ A B = O B − O A Cte
Des deux expressions nous pouvons déduire une relation entre les vitesses des deux points
appartenant au solide.
Les vitesses des deux points par rapport au repère
R i
sont données par:
−−−→
→
i
i d Oi
Ak
V ( Ak
) =
et
dt
Ses deux expressions peuvent s’écrire sous la forme :
→
i
V ( B ) =
k
d
i
−−−→
O B
i
dt
k
→
i
−−−→
−−−→
i
k
→
d O
−−−→
i
Ak
d Oi
Ak
i
= = + Ω
k
∧ Oi
Ak
V ( Ak
)
………..(1)
dt dt
→
i
−−−→
−−−→
i
k
→
d O
−−−→
i
Bk
d Oi
Bk
i
= = + Ω
k
∧ Oi
Bk
V ( Bk
)
………..(2)
dt dt
En faisant la différence entre les deux expressions (2) - (1) : on aboutit à :
−−−→
i ⎛
⎜ −
→
→
d Oi
Bk
d
i
i ⎝
V ( Bk
) −V
( Ak
) =
dt
i
−−−→
O A
−−−→ −−−→
i ⎛
⎞
d ⎜O −
−−−→
i
Bk
Oi
Ak
⎟ i
or on sait que :
⎝
⎠ d Ak
Bk
= = 0
dt
dt
i
k
⎞
⎟
⎠
→
−−−→ −−−→
i ⎛
+ Ω
k
∧ ⎜Oi
Bk
− Oi
Ak
⎝
car
−−−→
i
k
⎞
⎟
⎠
−−−→
O B − O A
On obtient ainsi la relation de distribution des vitesses dans un solide :
→
i
k
→
→ −−−→
i
i
= V ( Ak
+ Ω
k
∧ Ak
Bk
V ( B ) )
i
k
−−−→
= A B
Cette relation est d’une grande importance dans la cinématique et la dynamique des solides.
Elle permet, à partir de la vitesse d’un point du solide de déduire la vitesse de tous les autres
points du solide en connaissant la vitesse de rotation du repère lié à celui-ci.
Remarques :
→
i
a) Si le vecteur rotation instantané Ω = 0 , alors le solide est en mouvement de translation
k
i
i
pur et tous les points du solide ont la même vitesse : V B ) = V ( A ) ;
→
(
k
→
→
→ −−−→
=
k i k
→
→
(
k
k
i
i
i
b) Si V A ) = 0 et V ( B ) Ω ∧ A B , on dit que le solide est en mouvement de
rotation pur autour du point A ∈ S ) ;
→
k
k
( k
k
k
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