MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI par rapport au repère R i . Trois paramètres indépendants sont nécessaires pour définir complètement l’orientation du repère R par rapport à celle de R . k Le passage du repère R vers le repère R se fera par trois rotations en utilisant deux repères intermédiaires et R . R1 2 i i i 6.1.1. Passage du repère R vers le repère R : (précession) → La rotation se fait autour de l’axe z . → 1 → → z i ≡ 1 → On passe du repère R ( O , x , y , z ) vers le repère R O , x , y , z ) en faisant une rotation i i i i i i → → → 1( 1 1 1 1 d’angle ψ : appelé angle de précession. La vitesse de rotation est donnée par : → • → • → i Ω1 = ψ z i = ψ z1 → z i → z 1 car est confondu avec . La représentation se fait par des figures planes, à partir desquelles nous construisons les matrices de passage. Nous avons ainsi : → → → → x 1 = cosψ xi + sinψ yi + 0. zi → → → → y 1 = −sinψ xi + cosψ yi + 0. zi → → → → z 1 = 0. xi + 0. yi + zi Ces trois équations peuvent être mise sous forme matricielle et nous obtenons: → y 1 ψ → y i → → z i = z 1 Précession ψ → x 1 → x i ψ → → → → → → → = ( xi , x1 ) = ( yi , y1) avec z1 = x1 ∧ y1 ⎛ ⎜ x ⎜ ⎜ y ⎜ z ⎝ → 1 → 1 → 1 ⎞ ⎟ ⎛ cosψ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜− sinψ ⎟ ⎜ ⎝ 0 ⎠ sinψ cosψ 0 → ⎛ ⎞ 0⎞⎜ xi ⎟ ⎟⎜ → ⎟ 0⎟⎜ yi ⎟ ⎟ → 1 ⎜ ⎟ ⎠ zi ⎝ ⎠ ⎛ cosψ sinψ 0⎞ ⎜ ⎟ P R1→Ri = ⎜− sinψ cosψ 0⎟ est la matrice de passage du repère R1 vers le repère Ri . ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 1⎠ La matrice de passage de vers R est égale à la transposée de : Ri 1 PR 1 → Ri P T Ri→ R1 = P R1→ Ri 223
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI 6.1.2. Passage du repère vers le repère R : (Nutation) R2 1 → → ≡ 2 La rotation se fait autour de l’axe x 1 x . On passe du repère R O , x , y , z ) vers le repère R O , x , y , z ) en faisant une rotation d’angle → • → • → 1 Ω 2 = θ x1 = θ x2 Nous avons ainsi : → → → → x2 = xi + 0. y1 + 0. z1 → → → 2 ( 2 2 2 2 → → → 1( 1 1 1 1 θ : appelé angle de Nutation. La vitesse de rotation est donnée par : → x 1 → → → → y2 = 0. x1 + cosθ y1+ sinθ zi → → → → z2 = 0. x1 − sinθ y1 + cosθ zi → x 2 car est confondu avec . Sous forme matricielle et nous obtenons: → z 2 → θ → z 1 → → x 1 = x 2 → → Nutation θ → θ = ( y1, y2 ) = ( z1, z2 ) avec x2 = y2 ∧ z2 ) → → y 2 → y 1 → → ⎛ ⎜ x ⎜ ⎜ y ⎜ z ⎝ → 2 → 2 → 2 ⎞ ⎟ ⎛1 ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜0 ⎟ ⎜ ⎝0 ⎠ 0 cosθ − sinθ ⎛ 0 ⎞⎜ x ⎟⎜ sinθ ⎟⎜ y cosθ ⎟⎜ ⎠ z ⎝ → 1 → 1 → 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ P R2→R1 = ⎜0 cosθ sinθ ⎟ est la matrice de passage du repère R2 vers le repère R1 . ⎜ ⎟ ⎝0 − sinθ cosθ ⎠ 6.1.3. Passage du repère vers le repère R : (Rotation propre) Rk 2 → La rotation se fait autour de l’axe z . → → → z 2 ≡ k → On passe du repère R ( O , x , y , z ) vers le repère R O , x , y , z ) en faisant une rotation k k k k k → → → 2 ( 2 2 2 2 d’angle ϕ : appelé angle de Rotation propre. La vitesse de rotation est donnée par : → 2 k Ω = • → ϕ z 2 • → = ϕ z k → z 2 → z k car est confondu avec . Nous avons ainsi : 224
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CLASSES PREPARATOIRES AUX GRANDES E
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