MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
5.4. Dérivée dans le repère R d’un vecteur (t)
exprimé dans un repère
i
Le vecteur (t) s’écrira : V t)
X x + Y y Z z dans le repère R .
V →
V →
→
( = → →
+
→
k k k k k k
k
Rk
Sa dérivée dans le repère R k
a pour expression :
Sa dérivée dans le repère R i
s’écrira :
→
k
d V ( t)
dt
• → • → • →
= X k xk
+ Y k yk
+ Z k zk
→
i
→
k
→ → → → →
d V ( t
→
i
i
i
= + X
k
Ω
k
∧ xk
+ Yk
Ω
k
∧ yk
+ Z
k
Ω
k
∧ zk
d V ( t)
)
dt dt
→
i
d V ( t)
dt
=
d
→
k
V ( t)
+ Ω
dt
→
i
k
⎛
∧ ⎜ X
⎝
k
→
x + Y
k
k
→
y + Z
k
k
→
z
k
⎞
⎟
⎠
=
d
→
k
V ( t)
+ Ω
dt
→
i
k
→
∧V
( t)
i
k
→
d V ( t)
d V ( t)
→
i
On obtient finalement : = + Ω
k
∧V
( t)
dt dt
→
→
5.5. Propriétés du vecteur
→
Ω i k
→
a) Le vecteur Ω i k
est antisymétrique par rapport aux indices i et j :
→
i
k
Ω
→
k
i
= −Ω
→
→
i j i
b) Formule de Chasles : Ω = Ω + Ω (principe de composition)
k
k
→
j
c)
d
i
dt
→
i
k
Ω
=
d
k
dt
→
i
k
Ω
égalité des dérivées par rapport aux indices.
6. Angles d’Euler
6.1 Angles d’Euler de type 1
→
→
Soit R ( O , x , y , z ) un repère fixe et R ( O , x , y , z ) un repère lié au solide (S), en
i
mouvement quelconque dans l’espace. Le centreO
du repère R appartient au
solide O k
∈ (S) .
i
i
i
→
i
k
Dans le cas des angles d’Euler de type 1, on considère que les centres O et O des deux
repères sont confondus : O ≡ , ce qui signifie que le repère R ne fait que des rotations
i
O k
k
→
k
→
k
→
k
k
k
k
i
k
222