MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI 5.3. Formule de la base mobile → → → Soit R ( O , x , y , z ) un repère fixe et R ( O , x , y , z ) un repère mobile par rapport au i i i i i k k → k → k → k premier. Les vecteurs unitaires du repère R k sont orthogonaux entre eux et de module constant et égale à 1, mais ils changent de direction dans l’espace. → → → x = y = z = 1 et x . y = 0 , x . z = 0 , y . z = 0 k k k → k → k Nous allons déterminer les dérivées de ces vecteurs dans le repère R i : → k → k → k → k → i d x dt k , → i d y dt k , → i d z dt k → • → → → → → → i Soit Ω k = θ ( a xk + b yk + c zk ) , le vecteur rotation de la base Rk ( Ok , xk , yk , zk ) par rapport à → → → la base R ( O , x , y , z ) . i i i i Nous avons alors les relations suivantes : i → i d xk dθ d i dt → x k → i d yk dθ d i dt → y k → i d zk dθ d i → z dt k ⊥ x → k ⇒ → i d xk dθ → ∈ ( y k → , z k ) i d x → → → k ; nous pouvons écrire : = 0. xk + c yk − b zk ) dθ ⎛a⎞ ⎛1⎞ → i i → → → • • → d x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ → k d θ i = = ( 0. xk + c yk − b zk ) θ = θ b ∧ 0 = Ω k ∧ xk ⊥ y → k dθ ⇒ dt → i d yk dθ → ∈ ( x k → , z k ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ c ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ i d y → → → k ; nous pouvons écrire : = −c xk + 0. yk + a zk ) dθ ⎛a⎞ ⎛0⎞ → i i → → → • • → d y ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ → k d θ i = = ( −c xk + 0. yk + a zk ) θ = θ b ∧ 1 = Ω k ∧ yk ⊥ z → k dθ ⇒ dt → i d zk dθ → ∈ ( x k → , y k ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ c ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ i d zk ; nous pouvons écrire : = b x → − → + 0. → k a yk zk ) dθ ⎛a⎞ ⎛0⎞ → i i → → → • • → d z ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ → k d θ i = = ( b xk − yk + 0. zk ) θ = θ b ∧ 0 = Ω k ∧ zk dθ dt ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ c ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ → → → Nous avons donc : → i d x dt k → → i = Ω k ∧ xk ; → i d y dt k → → i = Ω k ∧ yk ; → i d z dt k → → i = Ω k ∧ zk 221

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI 5.4. Dérivée dans le repère R d’un vecteur (t) exprimé dans un repère i Le vecteur (t) s’écrira : V t) X x + Y y Z z dans le repère R . V → V → → ( = → → + → k k k k k k k Rk Sa dérivée dans le repère R k a pour expression : Sa dérivée dans le repère R i s’écrira : → k d V ( t) dt • → • → • → = X k xk + Y k yk + Z k zk → i → k → → → → → d V ( t → i i i = + X k Ω k ∧ xk + Yk Ω k ∧ yk + Z k Ω k ∧ zk d V ( t) ) dt dt → i d V ( t) dt = d → k V ( t) + Ω dt → i k ⎛ ∧ ⎜ X ⎝ k → x + Y k k → y + Z k k → z k ⎞ ⎟ ⎠ = d → k V ( t) + Ω dt → i k → ∧V ( t) i k → d V ( t) d V ( t) → i On obtient finalement : = + Ω k ∧V ( t) dt dt → → 5.5. Propriétés du vecteur → Ω i k → a) Le vecteur Ω i k est antisymétrique par rapport aux indices i et j : → i k Ω → k i = −Ω → → i j i b) Formule de Chasles : Ω = Ω + Ω (principe de composition) k k → j c) d i dt → i k Ω = d k dt → i k Ω égalité des dérivées par rapport aux indices. 6. Angles d’Euler 6.1 Angles d’Euler de type 1 → → Soit R ( O , x , y , z ) un repère fixe et R ( O , x , y , z ) un repère lié au solide (S), en i mouvement quelconque dans l’espace. Le centreO du repère R appartient au solide O k ∈ (S) . i i i → i k Dans le cas des angles d’Euler de type 1, on considère que les centres O et O des deux repères sont confondus : O ≡ , ce qui signifie que le repère R ne fait que des rotations i O k k → k → k → k k k k i k 222

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