MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
Exercice 05 :
Trouvez le volume d’un parallélépipède dont les cotés sont les vecteurs : U , P,
Q,
tel que :
→
→
→
→
→
U = 2 i + 6 j , P = 3 j+
5 k , Q = i + 4 j−
2 k ,
→
→
→
→
→
→
→
→
Solution :
Le volume d’un parallélépipède est un scalaire positif. On doit utiliser une opération
vectorielle dont le résultat est un scalaire positif : c’est le module du produit mixte des trois
→
→
→
vecteurs : v = U • ( P ∧ Q)
⎛
⎞
⎧2
⎜
⎧ ⎧
0 1 ⎟ ⎧2
⎧−
26
⎜
⎪ ⎪
→ → →
⎟
⎪ ⎜
⎪
⎪
⎟ ⎪ ⎪
U • ( P ∧ Q)
= ⎨6
• ⎜ ⎨3
∧ ⎨ 4 ⎟ = ⎨6
• ⎨ 5 = − 52 + 30 = −22
; ⇒
⎜ ⎪ ⎪ ⎟
⎪ ⎜ ⎪ ⎪ ⎟
0 5 − 2 ⎪0
⎪
⎩
⎪ ⎪
⎩ ⎩ − 3
⎩ ⎩
v = U
→ → →
• ( P ∧ Q)
= − 22 = 22
⎝
⎠
Exercice 06 :
La trajectoire d’un mobile dans un repère orthonormé directe
3
2
t
équations paramétriques suivantes : x = 4t , y = 4( t − ) ,
3
→ → →
R(
O,
i , j,
k)
est donnée par les
z = 3t
+ t
3
Montrer que le vecteur vitesse V fait un angle constant avec l’axe oz. Quelle est la valeur de
cet angle.
Solution :
La vitesse du mobile est donnée par : V
Nous avons en effet :
V
tgθ
=
V
xy
z
=
V
2 x
+
V
z
V
2
y
→
→
⎧ Vx
= 8t
⎪
2
= ⎨Vy
= 4(1 − t )
⎪
2
⎩V
z
= 3(1 + t )
→
i
V x
→
k
V
z
V
xy
→
V
θ
V y
→
j
tgθ
=
64t
2
+ 16(1 − t
3(1 + t
2
)
2
)
2
=
64t
2
4
+ 16t
− 32t
2
3(1 + t )
2
+ 16
34