MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
Exercice 10 :
Les coordonnées d’un point M , en mouvement dans un plan sont données par :
x = a( 1+
cos t)
et y = bsin
t , t : représente le temps , a et b sont deux constantes positives.
1. Donner l’équation de la trajectoire du point M , quelle est sa nature ?
2. Exprimer la vitesse du point M. Existe-t-il des instants tel que le module V de la vitesse
soit égale à une grandeur λ f 0 donnée ? discuter les solutions.
3. Le vecteur vitesse peut-il être normal au vecteur accélération ?
4. Représenter graphiquement ces vecteurs sur la courbe.
Solution :
1. Equation et nature de la trajectoire
L’équation cartésienne de la trajectoire s’obtient en éliminant le paramètre temps des
équations paramétriques.
x
y
2 2
− 1 = cost
et = sin t en utilisant la règle trigonométrique : cos t + sin t = 1 on
a
b
aboutit à :
⎛ x
⎜
⎝ a
−
2 2
⎞ y
1⎟
+
2
⎠
b
= 1
2
( x − a)
y
⇒ + = 1
2 2
a b
on pose : x − a = X et y = Y l’expression devient :
X
a
2
2
+ b
Y
2
2
= 1
axe a et de demi petit axe b .
2
c’est l’équation décentrée suivant l’axe (Ox) , d’une ellipse de demi grand
2. Vitesse du point M
Nous avons :
→
V
=
−−→
d OM
dt
⎧
⎪V
x
= ⎨
⎪ V
⎩
y
dx
= = −asin
t
dt
dy
= = bcost
dt
D’où : V
2
= V
2
x
+ V
2
y
= a
2
sin
2
t + b
2
cos
2
t = b
2
+ ( a
2
2
− b )sin
2
t
V
=
b
2
2 2
+ ( a − b )sin
2
t
On doit chercher s’il existe un instant t tel que :
V = λ avec λ f 0
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