MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI d τ sinα → on obtient ainsi : = − u ds c → Détermination de la normale → n ainsi que la courbure 1 ; R Nous savons que : On déduit que : → d τ = ds → n R ⎧ 1 sinα ⎪ = ⎨R c → → ⎪ ⎩ n = − u et par analogie avec l’expression précédente : → d τ sinα → = − u ds c on le vérifie facilement pat le produit scalaire : τ • n = 0 → → → → → ⎛ ⎞ En effet : ⎜sinα v+ cosα k0 ⎟ • n = 0 ⎝ ⎠ → 4. La binormale b au point M → → → b = τ ∧ n ⇔ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝cosα ⎠ ⎛−1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ sinα ⎠ → → → b = sinα ∧ 0 = − cosα = −cosα v+ sinα k0 Expression de la torsion sachant que : → d b ds → n = T → d b ds → → n u = = − or nous avons : T T → d b ds → d b dψ cosα → = . = u les deux expressions nous dψ ds c donnent : 1 cosα = − T c De là on vérifie facilement que le rapport : T R = − c / cosα = −tgα c / sinα Exercice 08 : Un bateau schématisé par un point mobile M se déplace à une vitesse constante rapport à l’eau d’une rivière. L’eau de la rivière se déplace à une vitesse → = → → → → ( rapport aux berges tel U U i , avec R O , i , j , k ) un repère fixe. Le mouvement du point M est tel que à chaque instant le vecteur vitesse vecteur déplacement −−→ OM . On posera −−→ OM → = r er → U → V → V par constante par est orthogonale au 212

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI 1. Donner l’expression de la vitesse du point M en fonction de U et V dans R( O, i , j, k) ; a) Exprimer les composantes de la vitesse dans la base ( M , e r , e θ , k) ; b) Donner l’expression générale de la vitesse en coordonnées polaires. 2. Déterminer l’équation de la trajectoire du bateau par rapport au repère R( O, i , j, k) en coordonnées polaires r = f (θ ) , sachant qu’à t = 0 : θ = 0 et r = r0 ; p a) Mettre l’expression de la trajectoire sous la forme : r = ; 1− k sinθ b) Préciser les expressions de p et k , puis donner la nature de la trajectoire. 3. Déterminer l’accélération du bateau dans la base ( M , e r , e θ , k) a) Donner l’expression générale de l’accélération en coordonnées polaires ; 2 dθ b) En déduire que l’expression r est une constante et donner sa valeur dt c) Calculer la durée de révolution du bateau autour du point O. on donne : → → → → → → → → → → → → → → ∫ 2π dθ 1− k sinθ ) 0 2 = 2π (1 − k 2 ) 3 2 Exercice 09 : → → → Soit R 0 ( O, i , j, k) un repère orthonormé direct fixe et R ( M , e , e , e s r ψ θ ) un repère local sphérique lié au point M. → → → → e r −→ → → = OP er = r er OP . u = cos ψ i + sinψ j , = sinθ u+ cosθ k , → → → e → = e ψ d r et e dψ → ψ → → → → → = cosθ u− sinθ k → → → Exprimer dans le repère R ( M , e , e , e s r ψ θ ) , la vitesse et l’accélération du point M. → e ϕ → e r → z o θ r → e θ → y → x ψ → e θ → u 213

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