MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Exercice 07 : Soit R O, i , j, k ) un repère orthonormé direct fixe. Soit deux vecteurs et tel que : 0 ( → → → → u → v → → → u = cos ψ i + sinψ j , → v = → d u dψ → → → → → d v 1. Vérifier que = − u et que la base formé par les vecteurs unitaires ( u, v, k) est dψ orthogonale directe ; 2. Soit ( C ) une courbe décrite par le point M dont l’équation paramétrique est donnée par : −−→ → → OM = a u+ bψ k où a et b sont des constantes et ψ le paramètre de représentation. a) Calculer −−→ d OM dψ → → k en fonction de ( a , b , v , ) ; b) En déduire ds dψ en fonction de c + 2 2 = a b , s étant l’abscisse curviligne ; −−→ c) Déterminer → d OM/ dψ τ = , vecteur unitaire tangent à la courbe au point M en −−→ d OM/ dψ → → k fonction de ( a , b , v , ) ; d) En déduire que l’angle α compris entre les vecteurs τ et est constant → → k 3. Exprimer d → τ ds → → 1 en fonction de α , c et u . En déduire n ainsi que la courbure ; R → 4. Déterminer la binormale b au point M . En déduire l’expression de la torsion 1 sachant T que : → d b ds → n = , vérifier que le rapport T T R est constant. Solution : → 1. Nous avons : u = cosψ i + sinψ j , alors : → → → → d u → → v = = −sin ψ i + cosψ j dψ 210
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI d’où : → d v → → → = − cos ψ i − sinψ j = − u dψ → → → ( 0 La base u, v, k ) est directe si : → → → u∧ v = k0 → → → ∧ v = k0 u ⇔ ⎛cosψ ⎞ ⎛ sinψ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ sinψ ⎟ ∧ ⎜cosψ ⎟ = (cos ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ 2 ψ + sin 2 ψ ) k → 0 = → k 0 2. Calcul de −−→ d OM dψ → → k en fonction de ( a , b , v , ) sachant que : −−→ OM → → = a u+ bψ k a) −−→ d OM dψ → d u → = a + b k0 dψ b) −−→ ds d OM = = a 2 dψ dψ + b 2 = c 2 c) on déduit : τ = V ( M ) V ( M ) −−→ d OM dt d OM dt −−→ d OM dψ . dψ dt → −−→ → → + → = −−→ = −−→ d OM dψ . dψ dt d OM/ dψ a v = −−→ d OM/ dψ c b k → 0 → → → → 2 2 a b a + b c τ = v+ k0 ⇒ τ = = = 1 c c c c → → ( 0 d) α = τ , k ) constant → pour le montrer on utilise le produit scalaire : τ • comme b et c sont des constantes alors α est constant. On peut exprimer le vecteur unitaire sous la forme : τ → → → b k 0 = τ k0 cosα ⇔ = cosα c → → → = sinα v+ cosα k0 3. Expression de d → τ ds → en fonction de α , c et u . → → d τ d τ dψ = or nous avons : ds dψ ds ds 1 = dψ c ⇒ dψ = c ds et → d τ → = −sin α u dψ 211
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