MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
Exercice 05 :
Dans un repère orthonormé
R( O,
x,
y,
z)
la position d’un point M est déterminé par les
ω t
ω t
équations paramétriques suivantes : x = sinω
t e ; y = cosω
t e ;
z = e
t
2 ω
Déterminer :
1. Les modules de la vitesse et de l’accélération du point M ;
2. Le rayon de courbure en fonction de z ;
3. Soit H la projection orthogonale du point M sur le plan xoy , quelle est l’équation polaire
du point H .
Solution :
1. Vitesse et accélération du point M
→
V
=
−−→
d OM
dt
⎧V
⎪
= ⎨V
⎪
⎩
V
x
y
z
= ω e
= ω e
ω t
ω t
= 2ω
e
(sinω
t + cosω
t)
(cosω
t − sinω
t)
ω t
; on déduit le module de la vitesse par :
V
=
V
2
x
+ V
2
y
+ V
2
z
= ω 6.
e
ω t
L’accélération est donnée par :
→
γ =
→
d V
dt
2
⎧ γ
x
= 2ω
e
⎪
2
= ⎨γ
y
= −2ω
e
⎪
2
⎩γ
z
= 2ω
e
ω t
ω t
ω t
cosω
t
sinω
t
; on déduit le module de l’accélération par :
γ = γ + γ + γ = 2 2ω
.
2
x
2
y
2
z
2 t
e ω
2. Rayon de courbure en fonction de z
Dans la base de Frênet, l’accélération tangentielle est égale à la dérivée du module de la
vitesse, ce qui donne :
dV
γ
t
= = ω
2 . 6.
e
dt
2 2 2
L’accélération normale se déduit à partir de la relation : γ = γ t
+ γ
ω t
2 ω t
2
2 ω t
2
2 ω t
( 2 2ω
. e ) − ( ω . 6. e ) 2( ω . e ) 2
2 2 2
γ
N
= γ − γ
t
=
=
γ = ω 2.
2
N
e ω t
D’autre part nous avons une relation entre le rayon de courbure et l’accélération normale qui
N
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