MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
→
→
•
d v
••
→ • • •• →
2
γ = = ( ρ−
ρθ ) u
ρ
+ (2 ρθ − ρθ
) uθ
dt
avec
••
θ = 0
car
•
θ = ω = Cte
•• •
1 2
2 1 2
1
γ cos
(1 cos )
2
ρ
= ρ−
ρθ = − ρ
0ω
ω t − ρ
0ω
+ ω t = − ρ
0ω
(1 + 2cosω
t)
2
2
2
•
γ θ =
•
⎛ 1 ⎞
2 ρθ =
2
2⎜
− ρ
0ω
sinω
t ⎟ω
= −ρ
0ω
sinω t
⎝ 2 ⎠
L’accélération γ du mobile se calcul par :
γ =
1 2
2 2
2
2
2 1
γ
ρ
+ γ
θ
= ρ
0ω
(1 + 2cosω
t)
+ (2sinω
t)
= ρ
0ω
1+
4(1 +
2
2
cosω
t)
1 2
2
γ = ρ
0ω
1+
8cos
2
ω t
2
c. Détermination de l’accélération normale γ
N
à partir des accélérations γ
ρ
et γ
θ
Nous avons : α = ( , Ox)
et β = ( N,
OM ) , on sait que :
T →
→
−−→
→ →
π
→ →
π
( N , T ) = et ( u
ρ , u
θ ) =
2
2
→
On projette les deux accélérations sur l’axe portant la normale N , on obtient :
γ
N
= −γ
cos β − γ sin β
ρ
θ
Exprimons l’angle α et β en fonction de θ :
En coordonnées polaires nous avons :
x = ρ cosθ
et y = ρ sinθ
alors :
tg α =
dy
dx
2
d(
ρ sinθ
) (1 + cosθ
)cosθ
− sin θ cosθ
+ cos 2θ
⎛ 3θ
⎞
= =
= −
= −cot
g⎜
⎟
d(
ρ cosθ
) − (1 + cosθ
)sinθ
− sinθ
cosθ
sinθ
+ sin 2θ
⎝ 2 ⎠
⎛ 3θ
⎞ ⎛ π 3θ
⎞
tg α = − cot g⎜
⎟ = tg⎜
+ ⎟ ⇔
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠
π 3θ
α = +
2 2
π
θ
nous avons aussi géométriquement : α = θ + β + on déduit : β =
2
2
On remplace β dans l’expression de
γ
N
= −γ
cos β − γ sin β =
γ
N
, ce qui donne :
1 2
θ
ρ
0ω
(1 + 2cosθ
)cos
2
2
ρ θ
+
2 θ
ρ
0ω
sinθ
sin
2
3 2 θ 3 ω t
γ
N
= ρ cos
2
0ω
= ρ
0ω
cos
2 2 2 2
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