MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
2. Vitesse linéaire instantanée du mobile
a.1 Vitesse linéaire en fonction du temps
L’origine des temps est prise au point A et la vitesse angulaire ω est constante donc :
θ = ω t . La vitesse est donnée par la relation :
v =
dS
dt
θ dθ
θ dθ
ω t
= ρ
0
cos = ρ
0
cos = ρ
0ω
cos
2 dt 2 dt
2
dS
θ
v = or nous avons : dS = ρ
0
cos dθ
dt
2
Ce résultat peut être obtenu d’une autre manière en déterminant les composantes radiales et
orthoradiale de la vitesse. En effet nous savons que :
−−→
OM
→
= ρ u
ρ
La vitesse s’écrit :
Avec :
−−→
→
d OM
• → • →
v = = ρ u
ρ
+ ρθ
uθ
dt
•
1
ρ = − ρ
0ω
sinω
t
2
•
1
et ρ θ = ρ
0ω(1
+ cosω
t)
2
v =
1
2
• •
2
2
2
2 2
ρ + ( ρθ ) = ρ
0ω
sin ω t + (1 + cos ω t)
1
1
2 ω t ω t
v = ρ
0ω
2(1 + cosω
t)
= ρ
0ω
2(2cos ) = ρ
0ω
cos
2
2
2
2
a.2 Vitesse linéaire en fonction de ρ
1
L’équation de la cardioïde qui s’écrit : ρ = ρ 0
(1 + cosθ
) peut aussi s’écrire :
2
2 θ
2 ω t
ρ = ρ
0
cos = ρ
0
cos ⇒
2 2
cos
2
ω t ρ =
2 ρ
0
Or l’expression de la vitesse en fonction du temps est :
Ce qui donne : v = ω ρ ρ
0
ω t
v = ρ
0ω
cos
2
⎛ ρ ⎞
= ρ
0ω
⎜
⎟
⎝ ρ
0 ⎠
1
2
b. Les composantes de l’accélération : radiale γ
ρ
et otrhoradiale γ
θ
nous avons :
−−→
OM
→
= ρ u
ρ
et
−−→
→
d OM
• → • →
= = ρ u
ρ
+ ρθ
uθ
v on déduit :
dt
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