MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
b) L’abscisse curviligne S en fonction de θ
⎧ρ
Les composantes du point M en coordonnées polaires sont : M ⎨ et les variations de
⎩θ
longueur par :
d ρ et ρd θ . S étant l’abscisse curviligne nous aurons alors :
( dS ) + θ
2
2
2
= ( dρ)
( ρd
) ⇒
dS = +
2
2
( dρ)
( ρdθ
)
comme :
1
dρ
= − ρ
0
sinθdθ
on déduit facilement :
2
2
2
⎞ ⎛ 1
⎞ 1
0
sinθ
d θ ⎟ + ⎜ ρ
0
(1 + cosθ
d θ ) ⎟ = ρ
0
θ
cos
⎛ 1 dS = ⎜ − ρ d
+
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2
⎠ 2
1
dS = ρ
0
dθ
2( 1+
cosθ
) ; or nous savons que : 1+
cosθ = 2cos
2
on déduit finalement :
θ
dS = ρ
0
cos dθ
2
on obtient l’abscisse curviligne par intégration de cette relation :
θ
θ
S = ρ
0∫
cos dθ
= 2ρ
0
sin + S
2
2
0
Les conditions initiales impose qu’au point A ( θ = 0)
alors S 0
( sinθ
) 2
+ ( 1 θ ) 2
0
=
2 θ
2
La relation entre
c) Angle polaire pour lequel S = ρ
0
S et θ devient :
Soit B le point pour lequel nous avons : S AB = ρ
0
= ∩
S
θ
= 2ρ
0
sin
2
θ
S = ρ 0
⇒ 2 sin = 1
2
θ 1
sin =
2 2
⇒
d) Périmètre de la trajectoire fermée
π
θ =
3
Soit P le périmètre de cette trajectoire. Le demi périmètre est donné par :
P
2
∩
= AO =
O
∫
A
ds = ρ
θ = π
∫
0
θ = 0
θ
cos dθ
2
π
P θ
⇒ = 2ρ
0sin
= 2ρ
0
2 2
0
d’où : P = 4ρ
0
périmètre de la cardioïde.
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