MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
4. La binormale
C’est un vecteur unitaire perpendiculaire au deux premiers, d’où :
→
→
→
b = τ ∧ n
⎛ 1 ⎞ ⎛ − 4t
⎞
⎜
2
⎟ ⎜
2
⎟
⎜ (1 + 16t
) ⎟ ⎜ (1 + 16t
) ⎟ ⎛0⎞
→
⎜ 4t
⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟
b = ⎜ ⎟ ∧ ⎜ ⎟ = ⎜0⎟
;
2
2
(1 + 16t
) (1 + 16t
)
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝1⎠
⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛0⎞
→ ⎜ ⎟
b = ⎜0⎟
⎜ ⎟
⎝1⎠
Exercice 03 :
Un mobile se déplace à vitesse scalaire constante sur une trajectoire d’écrite par des équations
paramétriques en coordonnées cylindriques :
z = k r
r
cϕ
= r0
e , où k , r0 , c : sont des constantes positives.
1. Trouver l’équation horaire r(t)
sachant qu’à : t = 0 ⇒ ϕ = 0 ;
2. Déterminer le vecteur accélération et le rayon de courbure de la trajectoire.
Solution :
1. Equation horaire
La vitesse du mobile en coordonnées cylindriques est données par :
→
→
→
→
• →
• →
• →
v = vr
+ vϕ + vz
= r er
+ rϕ eϕ
+ z k on déduit les composantes de la vitesse:
v
•
•
r 0
.
cϕ
= r ϕ c .e = cϕ
r
•
; vϕ
= rϕ
;
v
• •
•
z 0
.
cϕ
= k r = kr ϕ c .e = kcϕ
r
on abouti finalement à :
v
•
•
•
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= vr
+ vϕ
+ vz
= c ϕ r + r ϕ + k c ϕ
. r
2
2
2
v = r
• ϕ 1+
c (1 + + k ) comme la vitesse étant constante : v v = Cte
2
2
v
0
= r
• •
dϕ
ϕ 1+
c (1 + + k ) , or nous savons que : ϕ =
dt
= 0
et que :
2
2
1+ c (1 + + k ) = K
dϕ
cϕ
dϕ
ϕ v0
v
0
= r . K on remplace r par son expression : v0
= r0e
. K ⇔ dϕ
= dt
dt
dt
Kr
on intègre cette expression par rapport au temps et on obtient :
e c 0
200