MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
⎧ vx
= 1
→
→ → →
⎪
La vitesse s’écrit : v = ⎨v
y
= 4t
⇒ v = i + 4t
j et
⎪
⎩ vz
= 0
⎧γ
x
= 0
→
⎪
γ = ⎨γ
y
= 4 ⇒ γ = 4
⎪
⎩γ
z
= 0
et
→
v
=
v
v
v
2 2 2
x
+
y
+
z
= +
1 16t
2
→
→
→
→
v i + 4t
j 1
→
4t
→
On déduit : τ = = = i + j
→
2
2
2
v 1+
16t
1+
16t
1+
16t
2. Le rayon de courbure ρ ;
→
Dans la base de Frênet , l’accélération du point matériel est égale s’écrit : γ
→ →
= γ
N
+ γ
t
Où
γ
→
N
et γ
→
t
sont respectivement l’accélération normale et tangentielle.
2
v
Or nous savons que : γ = N
ρ
, calculons γ
N
:
1
dv 1
−1
16t
γ 32t
1 16t
et que
dt 2
1+
16t
2
Comme ( ) 2
t
= = + =
2
( )
2 2 2 16t
16
On déduit : γ
N
= γ − γ
t
= 16 − = ⇒
2
2
1+
16t
1+
16t
2
v
ρ = γ
N
=
+ 16t
4
1+
16t
2
( 1+
16t
)
3
1
2
2
→
3. La normale n à la trajectoire
2
=
4
2
γ
N
2 2 2
γ = γ
N
+ γ t
=
16
1+
16t
Soit s l’abscisse curviligne, la normale à la trajectoire est donnée par la relation :
2
→
→
→
→
d τ d τ ds d τ d τ dt ρ d τ
n = = . = ρ = ρ = car
dθ
ds dθ
ds dt ds v dt
⎛ →
→
ρ ⎜ 4 j(1
+ 16t
n = ⎜
v ⎜
⎝
d’où :
2
)
1
2
− ( i + 4t
1+
16t
→
− 4t
→
1
→
n = i + j
t 2
t 2
1+
16 1+
16
→
2
→
→
j)16(1
+ 16t
2
)
→
1
−
2
ds
v =
dt
⎞
→ →
⎟ ρ 4( −4
i + j)
⎟ =
3
⎟ v
2 2
⎠ (1 + 16t
)
=
(1 + 16t
2
4(1 + 16t
2
)
3
2
)
1
2
→
4( −4
i +
(1 + 16t
2
→
j)
)
3
2
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