MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
Exercice 03 :
Soient les vecteurs suivants :
→ → → →
U1
= A1
i + A2
j+
A3
k
et
→ → → →
U
2
= B1
i + B2
j+
B3
k
→ → → → →
2
,
1 1 2 2
1) Calculer les produits scalaires : U • U U • U , U • U ,
→
1
→
→
→
→
On donne : V = 2 i − j+
5 k , V = −3
i + 1,5 j−
7. 5 k ,
1
→
2
→
→
→
→
→
→
→
V = −5
i + 4 j+
k
3
→
2) Calculer V1
• V2
et V1
∧V2
;
→
→
→
3) Sans faire de représentation graphique que peut-on dire du sens et de la direction du
→
2
→
1
vecteur V par rapport à V ;
4) Calculer les produits suivants V • ( V ∧ V3 ) et V ∧ V ∧ V ) ;
→
1
→
2
→
→
1
→ →
(
2 3
5) Déterminer la surface du triangle formé par les vecteurs V 2
et V 3
→
→
Solution :
→ →
1 2 1 1 2 2 3B3
→ →
1 1 1 2
A3
2 2 2
1) U • U = A B + A B + A , U • U = A + A + ,
→ →
2 2 2
2
• U
2
= B1
+ B2
B3
U +
→ →
1 2
−
2) V • V = −6
−1,5
− 37,5 = 45
⎧ 2 ⎧ − 3 ⎧ 7,5 − 7,5 ⎧0
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
V → ∧ →
1
V 2
= ⎨−1,5
∧ ⎨ 1,5 = ⎨−1,5
+ 1,5 = ⎨ 0
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ 5 ⎩−
7,5 ⎩ 3 − 3 ⎩ 0
3) Comme le produit vectoriel des deux vecteurs est nul, alors ils sont parallèles
→
→
→
V ∧ = 0 ⇒
1
V 2
→
V
1
→
// V2
De plus leur produit scalaire est négatif V
1
• V
2
= −45
, alors les vecteurs V 1
et V 2
sont
parallèles et de sens opposés
⎧ 2 ⎛⎧
− 3 ⎧− 5⎞
⎧ 2 ⎧ 31,5
→
4) ( ) ⎪ ⎜⎪
⎪ ⎟ ⎪ ⎪
V
→ 1 2
∧ →
• V V3 = ⎨−1•
⎜⎨
1,5 ∧ ⎨ 4 ⎟ = ⎨−1•
⎨ 40,5 = 63 − 40,5 − 22,5 = 0
⎪ 5
⎜⎪
7,5 ⎪ 1
⎟ ⎪ 5 ⎪
⎩ ⎝⎩−
⎩ ⎠ ⎩ ⎩−
4,5
on peut retrouver ce résultat par la méthode vectorielle :
→
→
→
→
Nous avons
→
V
1
→
// V2
soit
→ →
→ → → ⎧
⎪V
2
⊥W
W = V2
∧ V3
⇔ ⎨ → →
, calculons
⎪⎩ V3
⊥W
→ →
V1 • W
32