07.12.2014 Views

MECANIQUE RATIONNELLE

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />

Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />

A.KADI<br />

−→<br />

−→<br />

Expressions des vecteurs OA et OB dans leurs repères locaux respectifs :<br />

−→<br />

Le OA peut s’écrire :<br />

Dans le repère local :<br />

⎛<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎝<br />

−→ −→ → → −→ → → −→ → →<br />

= ⎜OA•<br />

ur<br />

⎟ur<br />

+ ⎜OA•<br />

uθ<br />

⎟uθ<br />

+ ⎜OA•<br />

k ⎟ k<br />

OA<br />

→<br />

⎧ π<br />

→<br />

π<br />

→ →<br />

⎪<br />

u r<br />

= cos i + sin j = j<br />

2 2<br />

⎪ →<br />

π<br />

→<br />

π<br />

→<br />

⎨uθ<br />

= −sin<br />

i + cos j = − i<br />

⎪ 2 2<br />

→ →<br />

⎪ k = k<br />

⎪⎩<br />

→ → →<br />

π<br />

( A,<br />

u r<br />

, u θ<br />

, k ) avec θ = nous avons :<br />

2<br />

→<br />

−→ −→ → → −→ → → −→ → → → →<br />

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />

d’où : OA = ⎜OA•<br />

j ⎟ur + ⎜OA•<br />

( − i ) ⎟uθ<br />

+ ⎜OA•<br />

k ⎟ k = 2ur<br />

+ 2 k<br />

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />

De la même manière pour le vecteur<br />

−→<br />

OB<br />

⎞<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎠<br />

−→<br />

Le OB peut s’écrire :<br />

⎛<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎝<br />

−→ −→ → → −→ → → −→ → →<br />

= ⎜OB•<br />

ur<br />

⎟ur<br />

+ ⎜OB•<br />

uθ<br />

⎟uθ<br />

+ ⎜OB•<br />

k ⎟ k<br />

OB<br />

⎞<br />

⎠<br />

⎛<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎠<br />

Dans le repère local :<br />

→<br />

→<br />

→<br />

( B,<br />

u r<br />

, u θ<br />

, k ) avec θ = π nous avons :<br />

→<br />

→ → →<br />

⎧<br />

⎪<br />

u r<br />

= cosπ<br />

i + sinπ<br />

j = − i<br />

→<br />

→<br />

→ →<br />

⎨ uθ<br />

= −sinπ<br />

i + cosπ<br />

j = − j<br />

⎪<br />

→ →<br />

⎪ k = k<br />

⎩<br />

−→ −→ → → −→ → → −→ → → → →<br />

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />

d’où : OB = ⎜OB•<br />

( − i ) ⎟ur<br />

+ ⎜OB•<br />

( − j)<br />

⎟uθ<br />

+ ⎜OB•<br />

k ⎟ k = ur<br />

− k<br />

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />

3. Les coordonnées sphériques ( r , θ , ϕ)<br />

⎧x<br />

= r cosθ<br />

cosϕ<br />

−−→ →<br />

→<br />

−→<br />

⎪<br />

OM = r er<br />

où e r<br />

est un vecteur unitaire OM ⎨ y = r cosθ<br />

sinϕ<br />

⎪<br />

⎩z<br />

= r sinθ<br />

π π<br />

E (2, , ) ⇒<br />

4 4<br />

⎧ x = 1<br />

−→<br />

⎪<br />

π 3π<br />

OE ⎨ y = 1 ; et F (2, , ) ⇒<br />

⎪<br />

3 4<br />

⎩z<br />

= 2<br />

⎧x<br />

= −<br />

−→<br />

⎪<br />

OF ⎨ y =<br />

⎪<br />

⎩<br />

z =<br />

6 / 4<br />

6 / 4<br />

1/ 2<br />

197

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!