MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
7.2. Loi des aires
Nous avons vu précédemment que le mouvement du point P étant dans un plan, sa vitesse
s’écrivait :
−→
→
d OP
• → • →
= = r e + rθ eθ
V
r
; le produit vectoriel du vecteur déplacement par le
dt
vecteur vitesse conduit à la relation suivante :
−→
→ −→
d OP
→ • → • →
→
⎛ ⎞ 2 dθ
2
C = OP∧
= r er
∧ ⎜r er
+ rθ e θ ⎟ = r k = r θ k
dt ⎝ ⎠ dt
la relation suivante :
• →
→ →
•
On pose : C = C k avec C = r
2 θ , en comparant avec la vitesse aréolaire, on aboutit à
•
C
S =
2
•
dS 1
• 2 C
S = = r θ = ;
dt 2 2
; C : est appelée constante des aires.
On remarque aussi que la dérivée de la constante des aires est reliée à l’accélération γ
θ
, car
nous avons :
•
• • • •• • • ••
2
2
C = d(
r θ ) = 2r rθ
+ r θ = r(2
rθ
+ rθ
= rγ
θ
7.3. Mouvement à accélération centrale
a) Définition
On dit qu’un point P décrit un mouvement à accélération centrale dans le repère orthonormé
⇒
γ
θ
=
C •
r
→
→
→
R(
O,
i , j,
k)
si et seulement si, le vecteur position
−→
OP
du point P est colinéaire avec son
→
→
−→
vecteur accélération γ (P) . Dans ce cas nous pouvons écrire : γ ( P ) = λ OP avec
λ ∈ IR .
Le mouvement à accélération centrale est un mouvement à trajectoire plane, il résulte de la
condition de la colinéarité que donne l'équation :
−→
−→ → →
→
2
d OP
OP∧ γ (P) = 0 avec γ ( P)
=
2
dt
En dérivant l’expression vectorielle
−→
−→
d OP
OP∧ et en tenant compte de la condition de
dt
colinéarité entre le vecteur position et le vecteur accélération, nous obtenons :
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