MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Cette expression traduit le fait que toute tangente en un point P de l’hélice fait un angle constant avec la verticale passant par le point P et parallèle au vecteur . Le mouvement hélicoïdal est uniforme si la vitesse angulaire de rotation est constante, donc indépendante du • paramètre temps ( θ = ω = Cte ) . Dans ce cas la vitesse et l’accélération auront pour expressions : → → ω e θ → 2 2 V ( P) = a + bω k avec V ( P) = ω ( a + b ) → → 2 γ ( P) = −aω er , l’accélération est dirigée vers l’intérieure de la courbure. On a vu précédemment dans les mouvements curvilignes que l’accélération du point P → → 2 dV V → → s’écrivait sous la forme : γ ( P) = τ + n où les vecteurs unitaires τ dt ρ et → n sont les vecteurs, tangentiel et normal au point P de la courbe. → k En appliquant cette relation dans le cas du mouvement hélicoïdal uniforme où → → τ = e θ et → → n = − er , sont les vecteurs tangentiel et normal au point P de la courbe nous obtenons : → → 2 → 2 V γ ( P) = −aω er = n ⇒ ρ → 2 − aω e r 2 V = − e ρ → r ⇔ 2 2 V a ω = en remplaçant la vitesse ρ par son expression on aboutit à : 2 2 2 2 ω ( a + b ) aω = ⇒ ρ ρ = ( a 2 + b a 2 2 ) b = a + a Comme la normale en P est toujours dirigée vers l’intérieur de la courbure, on peut déterminer facilement le centre C de la courbure en écrivant la relation suivante : −→ → PC −ρ e = r → → → R r θ Nous pouvons aussi associer au point P le repère de Frénet ( P, − e , e , k ) . 7. Mouvements à trajectoires planes 7.1. Définition → Soit O le centre d’un repère cartésien R( O, i , j, k) fixe, tel que k = i ∧ j et P un point → → → → → en mouvement sur une trajectoire (Γ) dans le plan (xoy) de ce repère. 192

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI En utilisant les coordonnées polaires ( r ,θ ) le vecteur position du point P s’écrira : −→ → = r er OP avec r >0 avec : = cosθ i + sinθ j ⇒ → e r → → → → d e → → r e θ = = −sinθ i + cosθ j ; d’où dθ d e dθ → θ = − → → → θ i − sinθ j = −er cos ainsi nous avons : → k = e → → r ∧ e θ La vitesse du point P en fonction de et est donnée par : → e r → e θ −→ → d OP dr → dr dθ • → • → V = = er + r = r er + rθ eθ dt L’accélération aura pour expression : → −→ → 2 • d V d OP • → • • •• → 2 γ = = = ( r− rθ ) er + (2rθ + rθ ) e 2 θ dt dt dt dθ dt Géométriquement, les positions des points P et P’ sont infiniment voisines sur la trajectoire. En passant de P à P’ le vecteur position balaie l’aire dS qui est la surface du triangle OPP’ : dS = 1 2 −→ −→ OP∧ d OP = 1 1 2 r. rdθ = . r dθ 2 2 La dérivée de cette expression par rapport au temps, notée : • S est appelée vitesse aréolaire. y P’ → e θ θ → j → e r P o θ x → i Elle représente l’aire balayée par unité de temps : • 1 • 2 θ 1 2 = = r = r θ S dS dt 2 d dt 2 193

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