MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
5.4. Vitesse et accélération du point P dans le repère de Frénet
Pendant une petite variation de temps dt le point matériel est passé de P à P’ parcourant une
distance ds le long de la courbe ayant un rayon de courbure ρ .
Nous pouvons écrire :
→
ds = ρ dθ
où d θ est la variation de l’angle compris entre le
→
vecteur unitaires τ et τ ' tangents à la courbe aux points P et P’ .
• La vitesse du point P est donnée par :
→
→ • → →
•
dθ
s’écrit : V = ρ τ = ρθ τ = V τ avec V = ρθ
⇒
dt
• L’accélération du point P est donnée par :
→
→
→
d V d τ dV
→
γ = = V + τ nous avons :
dt dt dt
on déduit :
→ • →
dV
→
γ = V θ n+
τ ; comme
dt
ds dθ
V = = ρ ; sous la forme vectorielle, elle
dt dt
→
→
•
θ =
d τ d τ dθ
• →
= . = θ n et
dt dθ
dt
•
θ =
V
ρ
V
ρ
→
d n
dt
→
d n dθ
• →
= . = −θ
τ
dθ
dt
l’expression de l’accélération devient :
→
V 2 →
• →
γ = n+
V τ
ρ
Cette expression peut aussi s’écrire en fonction de s et de t car
V
=
ds
dt
→
→ 2
1
→
⎛ ds ⎞ ⎛ d s ⎞
γ = ⎜ ⎟ n +
⎜
⎟ τ
2
ρ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
→
' τ
d θ
→
τ
→
d τ
→
γ
n →
V '
→
d V n
θ
→
d
→ d V τ
V
→
γ
d
→
V
γ
→
n
6. Les mouvements particuliers
6.1. Mouvement à trajectoire circulaire
On dit que la trajectoire d’un point P est circulaire dans un repère orthonormé
→
→
→
R(
O,
i , j,
k)
fixe, si le point P se déplace le long du périmètre du cercle de rayon a constant et
appartenant au même repère.
On choisit un cercle dans le plan (Oxy) de telle sorte que son centre coïncide avec celui du
repère. Le point P sur le cercle est repéré par deux coordonnées :
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