MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
4.2. Les coordonnées cylindriques ( r,
θ , z)
Si le point P est repéré par les coordonnées cylindriques : ( r, θ , z)
qui dépendent du temps
→ → →
R
r θ
dans un repère ( O,
u , u , k ) , le vecteur position s’écrirait :
−→
→
→
OP = r u + z k
r
−→
→
d OP
• →
d u
• →
r
V = = r ur
+ r + z k
dt
dt
avec
→
d u
dt
→ • → • →
V r ur + rθ
uθ
V
r
→
→
d u
• →
r dθ
= . = θ uθ
, on obtient ainsi :
dθ
dt
• →
= + z k
•
•
•
r
= r , Vθ
= r θ , Vz
= z
→
x
→
z
o
r
θ
P(t)
z
→
u
θ
→
u
r
→
y
→
→
→
Dans le repère R(
O,
i , j,
k)
le vecteur OP s’écrit :
L’accélération est déterminée par :
−→
⎧r
cosθ
−→
⎪
OP = ⎨r
sinθ
⎪
⎩z
−→
→
• →
• →
→ 2
d OP d V d(
r u d r u
•• →
r
) ( θ
θ
)
γ = = = + + z k
2
dt dt dt dt
→
→
→ •• → •
d u
• • → •• → •
•• →
r
d uθ
γ = r ur
+ r + rθ
uθ
+ rθ
uθ
+ rθ
+ z k
dt
dt
or nous avons :
→
d u
dt
r
→
d u
• →
r dθ
= . = θ uθ
;
dθ
dt
L’expression de l’accélération devient :
→
d u
dt
θ
→
d u
• →
θ dθ
= . = −θ
ur
dθ
dt
→
•• • → •• • • →
2
r−
rθ
) ur + ( rθ
+ 2rθ
uθ
•• →
γ = (
) + z k
d’où :
••
•
2 2
• •
2
••
2
γ = ( r−
rθ
) + ( rθ
+ 2rθ
) + z
••
•• •
•• • •
••
2
γ
r
= ( r−
rθ
) ; γ
θ
= ( rθ
+ 2rθ
) ; γ
z
= z
4.3. Les coordonnées sphériques ( r , θ , ϕ)
⎧r
cosϕ
cosθ
→ → →
−→
−→
⎪
Dans le repère R(
O,
i , j,
k)
le vecteur OP a pour composantes : OP = ⎨r
cosϕ
sinθ
⎪
⎩r
sinϕ
En coordonnées sphériques il s’écrit : OP
−→
→ →
= OP.er
= r er
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