MECANIQUE RATIONNELLE

07.12.2014 Views
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI → → → 12.2 Opérateur divergence dans un repère orthonormé R( O, i , j, k) La divergence d’un vecteur → → → → V = V i + V j+ V k x y z est définie comme étant le produit scalaire de l’opérateur : → ∇ = ∂ ∂ → i + x ∂ ∂y → j+ ∂ ∂z → k → par le vecteur V ; noté : → divV → → ∇ • = V → ) div ( V ⎛ ∂ → ∂ → ∂ →⎞ = ⎜ i + j+ k ⎟ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ → ⎛ • ⎜Vx ⎝ i + V La divergence d’un vecteur est un scalaire. y → j+ V z →⎞ ∂Vx k ⎟ = ⎠ ∂x ∂V y + ∂y ∂V + ∂z z → → → 12.3 Opérateur rotationnel dans un repère orthonormé R( O, i , j, k) Le rotationnel d’un vecteur → → → → V = V i + V j+ V k x y z est définie comme étant le produit vectoriel de l’opérateur : → ∇ = ∂ ∂ → i + x ∂ ∂y → j+ ∂ ∂z → k → par le vecteur V ; ⎛ ∂ ⎝ ∂x −−→ → → → −−→ → → → → → → →⎞ rot V = ∇∧ V ; rot( V ) = ⎜ i + j+ k ⎟ ∧ ⎜Vx i + Vy j+ Vz k ⎟ ⎠ Le rotationnel d’un vecteur est aussi un vecteur. ∂ ∂y ⎧ ∂ ⎧V ⎪ ⎪ ⎪ ∂x −−→ → ∂ ⎪ Sous la forme matricielle nous aurons : rot( V ) = ⎨ ∧ ⎨V ⎪∂y ⎪ ⎪ ∂ ⎪ ⎪ ⎩∂ ⎩V z Remarque : ∂ ∂z x y z ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ ⎧∂Vz ⎪ ⎪ ∂y ⎪∂Vx = ⎨ ⎪ ∂z ⎪∂V y ⎪ ⎩ ∂x ∂V y − ∂z ∂Vz − ∂x ∂Vx − ∂y Si f est un champ scalaire et → A et → B deux vecteurs quelconques, les relations suivantes sont vérifiées : - → → → −−−−→ div ( f A) = fdiv A + A gradf ; ( → −−−−→ → → 2 2 2 = + + 2 2 2 - rot rot A) = grad( div A) − Δ A , avec −−→ → −−−−→ −−→ - rot( f A) = gradf ∧ A) + f rot( A) ; −−→ −−−−→ → - rot(gradf ) = 0 ; −−→ → - div( rot( A) = 0 ; → → → −−→ - div( A∧ B) = B• rot( A) − A• rot( B) → → → −−→ → → ∂ ∂ ∂ Δ ; ∂x ∂y ∂z 27

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI EXERCICES ET SOLUTIONS Exercice 01 : Deux points A et B, ont pour coordonnées cartésiennes dans l’espace : A(2,3,-3), B(5,7,2) Déterminer les composantes du vecteur Solution : −→ AB ainsi que son module, sa direction et son sens. −→ Le vecteur AB est donné par : −→ −→ −→ AB = OB+ OA = 3 i + 4 i + 5 i → → → 2 2 2 Son module : AB = 3 + 4 + 5 = 50 Sa direction est déterminée par les angles ( α, β , θ ) qu’il fait avec chacun des axes du repère. Ses angles se déduisent par le produit scalaire du vecteur repère orthonormé : −→ AB par les vecteurs unitaires du −→ → α = ( AB, i ) : AB −→ • → AB• i 3 i = AB.1.cosα ⇔ cos α = = = 0. 424 ⇒ α = 64. 89° AB 50 −→ → β = ( AB, j) : AB −→ • → AB• j 4 j = AB.1.cos β ⇔ cos β = = = 0. 565 ⇒ β = 55. 54° AB 50 −→ → θ = ( AB, k) : AB −→ • → AB• k 5 k = AB.1.cosθ ⇔ cos θ = = = 0. 707 ⇒ θ = 44. 99° AB 50 son sens : comme le produit scalaire du vecteur avec les trois vecteurs unitaires est positif alors, il a un sens positif suivant les trois axes du repère. −→ −→ −→ −→ AB → → → → k B → j → i A 30

Page 1 and 2: CLASSES PREPARATOIRES AUX GRANDES E

Page 3 and 4: Préface Quand Ali KADI m’a amica

Page 5 and 6: UMBB Boumerdès, Faculté des scien





Page 15: UMBB Boumerdès, Faculté des scien







































































































































































































exercices

cours

sciences

rationnelle

physique

umbb

solide

vitesse

vecteur

rapport

mecanique

MECANIQUE RATIONNELLE

Delete template?

Save as template ?