MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
Solution :
1. Masse du solide
On considère un élément de volume :
dv = s. dz = πy
2
dz
La masse du solide est égale à :
M
h
2
2 2
= 2 R R h 1
ρ ∫ dv = ρ∫πy
dz = ρπ ∫ zdz = ρπ . = ρπR
h h 2 2
S
S
0
2
h
2. Tenseur d’inertie du solide au point O ;
Le solide a un axe de révolution (Oz) donc les axes (Ox) et (Oy) jouent le même rôle, nous
avons ainsi :
I = I
Oxx
Oyy
I
Oxx
=
h
2 2
2 2
∫ y + z ) dm = ∫ ( z + z ) ρ . πy
dz = ∫ ( z +
S
2
2
R
R 2 R
( z ) ρ.
π
h
h
h
0
h
0
2
zdz
I
Oxx
h 4
h 2
4 3 2 4
2 2
⎡ R
⎤
2 R 3
⎡ R h R h ⎤
2
⎡ R h
= ρπ ⎢∫ z dz + ∫ z dz⎥
= ρπ ⎢ + ⎥ = ρπR
h⎢
+
2
⎣ h h ⎦ ⎣ 3 h 4 ⎦ ⎣ 3 4
0
0
h
⎤
⎥
⎦
2 2
( 4R
3 )
2 2
2 ⎡ R h ⎤ M
I M
3 4 6
h
Oxx
= ⎢ + ⎥ = +
⎣ ⎦
I
Ozz
=
∫
S
( x
2
+ y
2
) dm =
∫
S
( x
2
+ y
2
+ z
2
− z
2
) dm =
∫
S
( x
2
+ z
2
) dm +
∫
S
2
y dm −
∫
S
z
2
dm
I
Ozz
= I
Oyy
+
∫
S
∫
2 2
y ρπ y dz −
S
2 2
z ρπy
dz = I
Oyy
+ ρπ
∫
S
R
h
4
2
2
2 R
z dz − ρπ∫
h
S
z
3
dz
I
I
Ozz
= I
= I
Oyy
R
+ ρπ
h
M
+
6
4
2
3
2
h R
. − ρπ
3 h
4
h
.
4
= I
Oyy
+ ρπR
2
⎡ R
h⎢
⎣ 3
2
h⎤
− ⎥ = I
4⎦
2 2 M 2 2 M 2 2 4 2
( 4R
− 3h
) = ( 4R
+ 3h
) + ( 4R
− 3h
) MR
Ozz Oyy
=
6
6
3
Oyy
⎡ R
+ 2M
⎢
⎣ 3
2
h⎤
− ⎥
4⎦
Le tenseur d’inertie s’écrit :
I O
⎡M
⎢ 6
⎢
( S)
= ⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2 2
( 4R
+ 3h
)
0
0
M
6
0
2 2
( 4R
+ 3h
)
0
4
3
⎤
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
2
MR
⎥
⎥
⎦
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