MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
→ → →
12.2 Opérateur divergence dans un repère orthonormé R(
O,
i , j,
k)
La divergence d’un vecteur
→
→
→
→
V = V i + V j+
V k
x
y
z
est définie comme étant le produit scalaire
de l’opérateur :
→
∇ =
∂
∂
→
i +
x
∂
∂y
→
j+
∂
∂z
→
k
→
par le vecteur V ; noté :
→
divV
→ →
∇ •
= V
→
)
div ( V
⎛ ∂
→
∂
→
∂
→⎞
= ⎜ i + j+
k ⎟
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
→
⎛
• ⎜Vx
⎝
i + V
La divergence d’un vecteur est un scalaire.
y
→
j+
V
z
→⎞
∂Vx
k ⎟ =
⎠ ∂x
∂V
y
+
∂y
∂V
+
∂z
z
→ → →
12.3 Opérateur rotationnel dans un repère orthonormé R(
O,
i , j,
k)
Le rotationnel d’un vecteur
→
→
→
→
V = V i + V j+
V k
x
y
z
est définie comme étant le produit
vectoriel de l’opérateur :
→
∇ =
∂
∂
→
i +
x
∂
∂y
→
j+
∂
∂z
→
k
→
par le vecteur V ;
⎛ ∂
⎝ ∂x
−−→ → → →
−−→ →
→ → →
→ → →⎞
rot V = ∇∧ V ; rot(
V ) = ⎜ i + j+
k ⎟ ∧ ⎜Vx
i + Vy
j+
Vz
k ⎟ ⎠
Le rotationnel d’un vecteur est aussi un vecteur.
∂
∂y
⎧ ∂ ⎧V
⎪ ⎪
⎪
∂x
−−→ →
∂ ⎪
Sous la forme matricielle nous aurons : rot(
V ) = ⎨ ∧ ⎨V
⎪∂y
⎪
⎪ ∂ ⎪
⎪
⎩∂
⎩V
z
Remarque :
∂
∂z
x
y
z
⎞
⎠
⎛
⎝
⎧∂Vz
⎪
⎪
∂y
⎪∂Vx
= ⎨
⎪ ∂z
⎪∂V
y
⎪
⎩ ∂x
∂V
y
−
∂z
∂Vz
−
∂x
∂Vx
−
∂y
Si f est un champ scalaire et
→
A
et
→
B deux vecteurs quelconques, les relations suivantes
sont vérifiées :
-
→
→
→
−−−−→
div ( f A)
= fdiv A + A gradf ;
(
→ −−−−→ →
→
2 2 2
= + +
2 2 2
- rot rot A)
= grad(
div A)
− Δ A , avec
−−→
→
−−−−→
−−→
- rot(
f A)
= gradf ∧ A)
+ f rot(
A)
;
−−→
−−−−→
→
- rot(gradf ) = 0 ;
−−→
→
- div( rot(
A)
= 0 ;
→
→
→
−−→
- div(
A∧
B)
= B•
rot(
A)
− A•
rot(
B)
→
→
→
−−→
→
→
∂ ∂ ∂
Δ ;
∂x
∂y
∂z
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