MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
Exercice 16 :
Déterminer le tenseur d’inertie en O, sommet d’un cône plein et homogène d’axe de
révolution Oz, de hauteur h et dont le cercle de base a un rayon R, comme indiqué sur la
figure ci-dessous.
→
z
R
A
R
B
dv = 2πrdr
dz
dz
h
C
r
z
D
→
y
o
Solution :
Cône : Deux plans de symétrie (xoz) et (yoz) ⇒ I I = I = 0
→
x
xy
=
xz yz
Les axes ox et oy jouent le même rôle :
I = I
xx
yy
2 2 2
Nous avons : x + y = r et l’élément de masse est égal à : dm = ρdv
= ρ2πrdrdz
Dans les triangles OAB et OCD , nous avons
R
0 < r < z et 0 < z < h
h
CD OC r z R
= ⇔ = ⇒ r = z
AB OA R h h
I
zz
R
z
h
h
2
2 2 R
h
4
= 2
2
3
R 4
∫ ( x + y ) dm = ∫ r . ρ 2πrdr.
dz = ρ2π
∫(
∫r
dr)
dz = ρ2π
z dz = ρπR
4
4h
∫
S
S
0 0
0
h.
10
or nous avons la masse d’un cône est donnée par :
1
m = ρπ
2
R h alors R
2
ρπ h = 3m
3
d’où :
3 I zz
= mR
10
2
Comme I
xx
= I yy
, nous pouvons aussi écrire :
2I
xx
= I
xx
+ I
yy
2 2
2 2
2 2
= ∫(
y + z ) dm + ∫ ( x + z ) dm = ∫(
x + y ) dm + 2
S1 S1
∫
S1 S1
z
2
dm
2
I
zz 2 3 2 2
2I xx
= I
zz
+ 2∫
z dm ⇒ I
xx
= + z dm mR z ρ2πrdr.
dz
2
∫ = +
20
∫
S1
S1
S1
165