MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
3. Moment d’inertie du système par rapport à la droite (Δ)
Soit
→ →
→ → →
n le vecteur unitaire porté par l’axe (Δ)
, il s’écrira : n = cosα
i + 0. j−
sinα
k
⎧ cosα
→⎪
n ⎨ 0 Le moment d’inertie par rapport à (Δ)
est donné par : I
⎪
⎩−
sinα
Nous avons ainsi :
I
Δ
⎡A
0
= (cosα,0,
−sinα)
⎢
⎢
0 B
⎢⎣
0 0
2
I = Acos α + C sin
Δ
2
α ;
→
T
Δ
= n
→
. I 0
( S).
n
0⎤⎛
cosα
⎞
⎛ cosα
⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
0
⎥
⎥⎜
0 ⎟ = ( Acosα,0,
−C
sinα)
⎜ 0 ⎟
C⎥⎜
⎟
⎜ ⎟
⎦⎝−
sinα
⎠
⎝−
sinα
⎠
3A
C
I
Δ
= + et en remplaçant A et C nous obtenons :
4 4
I
Δ
=
2
3 ⎡ ⎛ R
⎢m1
⎜
4 ⎣ ⎝ 2
2
h
+
3
⎞
⎟ + m
⎠
2
2
⎛ b
⎜
⎝ 3
2
c ⎞⎤
+
⎟⎥
+
12 ⎠⎦
1
4
⎡ ⎛ R
⎢m1
⎜
⎣ ⎝ 2
2
2
h
+
3
⎞
⎟ + m
⎠
2
2
⎛ b
⎜
⎝ 3
2
a ⎞⎤
+
⎟⎥
12 ⎠⎦
4. Produit d’inertie par rapport aux droites (Δ)
et (Δ')
→
n est le vecteur unitaire porté par l’axe (Δ)
: n(
cosα,
0,
− sin α)
→
t est le vecteur unitaire porté par l’axe (Δ')
: t ( sin α, 0,
cosα)
Le produit d’inertie par rapport aux droites (Δ)
et (Δ')
est donné par la relation:
→
→
I
ΔΔ'
→
T
→
= −t
. I ( S).
n
O
I
ΔΔ'
⎡A
= −(sinα,0,cosα)
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
0
B
0
0 ⎤⎛
cosα
⎞
⎛ cosα
⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
0
⎥
⎥⎜
0 ⎟ = −(
Asinα,0,
−C
cosα)
⎜ 0 ⎟
C⎥⎜
⎟
⎜ ⎟
⎦⎝−
sinα
⎠
⎝−
sinα
⎠
I
ΔΔ
= −Asinα
cosα
+ C cosα
sinα
=
3
( C − A)
4
I
ΔΔ'
=
2
3 ⎡ ⎛ R
⎢m
⎜
1
4 ⎣ ⎝ 2
2
h
+
3
⎞
⎟ + m
⎠
2
2
⎛ b
⎜
⎝ 3
2
a ⎞ ⎛ R
+
⎟ − m
⎜
1
12 ⎠ ⎝ 2
2
2
h
+
3
⎞
⎟ − m
⎠
2
2
⎛ b
⎜
⎝ 3
2
c ⎞⎤
+
⎟⎥
12 ⎠⎦
I
ΔΔ '
= m
2
3 a
.
4
− c
12
2
2
164