MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
Exercice 15 :
Une pièce mécanique homogène est constituée d’un cylindre creux (S 1 ) de masse m 1 , d’axe
Oy, et soudé à sa base à un parallélépipède (S 2 ) de masse m 2 tel que représenté sur la figure
ci-dessous. Déterminer :
1. Le tenseur d’inertie de la surface cylindrique au point O ;
2. Le tenseur d’inertie du système I O
(S) au point O ;
3. Le moment d’inertie du système par rapport à la droite ( Δ)
faisant un angle de 30° dans le
sens positif avec l’axe Ox et passant par O ;
4. Le produit d’inertie du système par rapport aux droites (Δ)
et (Δ')
appartenant au plan
(xOz) tel que
Δ' ⊥ Δ .
y
R
z
dl = Rdθ
b
h
z
o
Δ '
30°
Δ
c
x
O
R
x
a
Solution :
1. Tenseur d’inertie de la surface cylindrique (S 1 ) au point O
Nous avons un solide ayant un axe de révolution (Oy) alors : I
xx
( S1)
= I
zz
( S1)
, nous pouvons
aussi voir que les axes (Ox) et (Oz) jouent le même rôle.
Les plans (xOy) et (zOy) sont des plans de symétrie d’où : I S ) = I ( S ) = I ( S ) 0
xy
(
1 xz 1 yz 1
=
On choisi un petit élément de surface :
dm = σ.
Rd . dy avec 0 ≤ ϕ ≤ 2π
et 0 ≤ y ≤ h
1
ϕ
ayant pour coordonnées : ( R cosθ
, y,
R sinθ
) tel que :
2 2
x + z =
R
2
Masse du cylindre :
m = 1 ∫ dm1
= ∫σ.
Rdθ.
dy = σR
∫ dθ.
∫ dy = σ.2πR.
h
S
S
2π
0
h
0
Nous avons alors :
I
2π
h
2 2
2
3
3
2
2
( S1 ) = yy ∫ ( x + z ) dm1
= ∫ R σRdθdy
= σR
∫ dθ
∫ dy = σR
.2π
. h = σ.2πRh.
R = m1R
S
S
0 0
161