MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
Solution :
a) Tenseur d’inertie du système au point O dans R( O,
x,
y,
z)
Le système est formé de deux panneaux rectangulaires identiques S 1 et S2 de masse :
m = σ.ab
et de centres de gravité respectifs : G 1 et G 2 .
On calcul les tenseurs d’inertie en ces centres d’inertie puis, par le théorème de Huygens, on
déduit les tenseurs d’inertie au point O dans le repère R( O,
x,
y,
z)
.
Les plans (xOz) et (yOz) sont des plans de symétrie alors tous les produits d’inertie sont
nuls : I = I = I = Nous avons un solide plan : z = 0 alors I Oxz
I = 0 et
Oxz Oyz Oxz
0
aussi : I + I = I .
Oxx
Oyy
Ozz
= Oyz
Nous avons aussi :
I )
( S1 )
O
= I(
S
2 O
donc I ( S)
O
= 2I(
S1)
O
Calculons le tenseur d’inertie du panneau (S 1 ) en G 1 :
I
I
b / 2 a / 2
3
a / 2
2 2
2
2
2
⎡ y ⎤
G 1xx
= ∫ ( y + z ) dm = ∫ y dm = ∫ y σ . dxdy = σ ∫ dx ∫ y dy = σb.
⎢ ⎥ =
3
S
S
S
−b
/ 2 −a
/ 2 ⎣ ⎦ −a
/ 2
1
1
1
b / 2 a / 2
3
b / 2
2 2
2
2
2
⎡ x ⎤
G 1yy
= ∫ ( x + z ) dm = ∫ x dm = ∫ x σ . dxdy = σ ∫ x dx ∫ dy = σa.
⎢ ⎥ =
3
S
S
S
−b
/ 2 −a
/ 2 ⎣ ⎦ −b
/ 2
1
1
1
ma
12
mb
12
2
2
I
G1zz
= ∫ ( x
S1
2
+ y
2
) dm = I
G1xx
+ I
G1yy
=
2 2
m(
a + b )
12
Les plans ( xG z) et (yG z
1 1
sont des plans de symétrie, alors tous les produit d’inertie sont
nuls : I I = I 0 ; on obtient ainsi :
G1 xy
=
G1xz
G1yz
=
2
⎡ma
⎤
⎢ 0 0 ⎥
⎢
12
2
⎥
⎢ mb
I(
S =
⎥
1)
G 1
0
0 et
⎢ 12
⎥
⎢
2 2
m(
a + b ) ⎥
⎢ 0 0
⎥
⎣
12 ⎦
I(
S
2
)
G
2
2
⎡ma
⎢
⎢
12
= ⎢ 0
⎢
⎢
⎢ 0
⎣
0
mb
12
0
2
0
0
2
m(
a + b
12
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
) ⎥
⎥
⎦
b
b
Les coordonnées du point G 1 sont ( c + , 0, 0)
et celles de G 2 ( − c − , 0, 0)
.
2
2
160