MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
π / 2
2
Masse de la sphère creuse : m = ∫σds
= ∫σR
cosθdθ.
∫ dψ
= σ.4πR
S
−π
/ 2
Les plans (xOy), (xOz) et (yOz) sont des plans de symétrie alors tous les produits d’inertie sont
nuls : I I = I = 0
xy
=
xz yz
On voit aussi que les axes Ox, Oy et Oz jouent le même rôle par rapport au solide alors les
moments d’inertie suivant ces axes sont égaux :
2 2
2 2
2
∫ ( y + z ) dm + ∫ ( x + z ) dm + ∫ ( x +
2
I + I + I =
y ) dm
xx
yy
zz
S
= ∫
∫
2 2 2
2
2
3I
xx
2 ( x + y + z ) dm = 2 R dm = 2mR
S
S
S
xx
2π
yy
0
I = I = I , nous pouvons écrire :
S
zz
2
d’où :
I
xx
=
2 mR
3
2
Le tenseur d’inertie en O d’une sphère creuse est :
I O
⎡2
⎢
mR
3
⎢
( S)
= ⎢ 0
⎢
⎢
⎢
0
⎣
2
0
2
mR
3
0
2
0
0
2
mR
3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
2
5. Le solide est une sphère pleine de rayon R de centre O .
L’élément de volume dv est repéré par les coordonnées sphériques : ( r , θ , ψ ) tel que :
⎧r
⎪
dv⎨r
⎪
⎩
Avec :
cosθ
cosψ
cosθ
sinψ
r sinθ
π π
− ≤ θ ≤ et 0 ≤ ψ ≤ 2π
,
2 2
Nous avons alors :
2 2 2
x + y + z =
r
2
0 ≤ r ≤ R
Le volume de l’élément choisi est donnée par :
z
R
O
ψ
θ
dv
y
2
dv = rdθ . rdψ.
dr cosθ
= r cosθdθ.
dψ.
dr
x
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