MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
9.2. Projection orthogonale d’un vecteur sur un plan
→
Soit V un vecteur quelconque, et ( π ) un plan de l’espace défini par la normale
→
n
. La
→
projection orthogonale du vecteur V est la composante V dans le plan.
→
Le vecteur V a deux composantes l’une dans le plan et l’autre perpendiculaire au plan. On a
→
π
ainsi : V
→
π
→
→ → → → →
n
= V − ( V • n )
= V − V
n
Qui s’écrit aussi sous la forme : V
→
π
→
→
→
→
→
→
= ( n•
n)
V − ( V • n)
n
On retrouve la relation du double produit vectoriel
→
V n
→
n
→
V
→
V
π
(π
→ → → → → →
entre les vecteurs V et n : V = n∧
( V ∧ n )
π
10. Division vectorielle
Si
→
→
X ∧V
→
= W
, on dit que
→
X est le résultat de la division vectorielle de W par V
→
→
→
i) V ne doit pas être un vecteur nul ;
ii)
→
W
→
et V doivent être orthogonaux
S’il existe une solution particulière
→
X 0
, alors elle est la forme
→
→
→
X = α V ∧W
0
En remplaçant cette valeur dans l’expression X ∧V
= W on obtient :
→
→
→
→
α (V ∧W
) ∧V
= W ⇔ α W ( V • V ) −α
V ( V • W ) = W
→ →
→
Comme V ⊥W alors V • = 0 ; on obtient :
→
W
→ → → →
W ( V • V ) = W
1
α ⇒ α =
2
V
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
Nous avons aussi :
→
→
→
→
X ∧V
= X
0
∧V
⇒
→
→
→
→
( X − X
0
) ∧V
= 0
cette expression montre que le
→ →
→
vecteur ( X − X ) est parallèle à V , dans ce cas nous pouvons écrire que :
0
→
→
→
( X − X
0
) = λV
avec λ ∈ IR ou
→
X
→
→
= X + λV
0
finalement :
→
X
→
→
V ∧W
→
= + λV
2
V
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