MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
Le tenseur d’inertie d’un cercle en O est :
I O
⎡mR
⎢
⎢
2
( S)
= ⎢ 0
⎢
⎢ 0
⎢
⎣
2
0
mR
2
0
2
⎤
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
2
mR ⎥
⎥
⎦
Nous pouvons aussi calculer les moments d’inerties I et I autrement :
xx
yy
On choisi un élément de longueur
dl = Rdθ
ayant pour coordonnées ( R cos θ , R sinθ
, 0)
Nous aurons ainsi :
I
xx
2π
2
= ∫ y dm = ∫
S
0
R
2
2
sin θdθ
= λ.
πR
3
Or nous avons :
obtient :
m = λ.
2πR
⇒
m
λ = en remplaçant λ dans l’expression de I xx
, on
2πR
2
mR
I xx
= . On obtient I
yy
de la même manière.
2
3. Le solide est cercle de rayon R de centre O et d’axe Oz
La surface du disque est :
2
S = πR
La masse du solide est donnée par :
m = σ R = σ . πR
Les plans (xOz) et (yOz) sont des plans de symétrie alors
tous les produits d’inertie sont nuls : I I = I = 0
2
xy
=
xz yz
y
y
ds = rdθ.
dr
On voit aussi que les axes Ox et Oy jouent le même
rôle par rapport au solide alors les moments d’inertie
O
r
θ
x
x
suivant ces axes sont égaux :
I = I
xx
yy
Nous avons un solide dans le plan (xOy), on choisi un élément de masse
tel que :
0 ≤ r ≤ R et 0 ≤ θ ≤ 2π
⎧x
= r cosθ
⎪
Les coordonnées de cet élément sont : dm⎨
y = r sinθ
, et nous avons aussi :
⎪
⎩ z = 0
dm = σ ds = σrdθ.
dr
2 2
x + y =
r
2
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