MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
Exercice 11 :
Déterminer les tenseurs d’inertie en O relativement au repère orthonormé
R( O,
x,
y,
z)
des
solides homogènes (S) suivants :
1. (S) est une barre AB de longueur L, de milieu O, portée par l’axe Oy ;
2. (S) est un cercle de centre O, de rayon R, d’axe Oz ;
3. (S) est un disque de centre O, de rayon R, d’axe Oz ;
4. (S) est une sphère creuse de centre O, de rayon R ;
5. (S) est une sphère pleine de centre O, de rayon R ;
6. (S) est une plaque rectangulaire de dimension a x b de centre de gravité O, l’axe Oz est
perpendiculaire à la plaque ;
7. (S) est un parallélépipède plein de dimension 2a x 2b x 2c et le centre du repère est en O
milieu du côté 2a .
Solution :
1. Le solide est une barre de longueur L
Nous avons un solide linéaire AB = L de
masse m et de densité linéaire λ tel que :
m = ∫ dm = ∫λ dy = λ. L ⇒
S
S
λ =
m
L
On choisit un élément de longueur dy ayant
pour coordonnées : (0, y, 0) tel que :
Les moments d’inertie sont données par :
− L ≤ y ≤ + L
-L/2
z
O
L/2
A B
dy
x
y
2 2
I = ∫ ( y + z ) dm
xx
S
2 2
; I = ∫ ( x + z ) dm ;
yy
S
2 2
I = ∫ ( x + y ) dm
zz
S
Les produits d’inertie sont données par : I
xy
= ∫ xydm ; I
xz
= ∫ xzdm ;
S
S
∫
I yz
= yzdm
S
On remarque que les axes Ox et Oz jouent le même rôle vis à vis du solide, alors :
I = I
xx
zz
L’élément de longueur choisi a pour coordonnées x = 0 et z = 0 alors
I yy
= 0
et tous les
produis d’inertie sont nuls :
I
xy
= I
xz
= I
yz
= 0
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