MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
Exercice 08:
Déterminer par le théorème de Guldin le centre d’inertie des solides homogènes suivants :
y
y
y
y
R
b
R
b
R a
a x
a x a x b x
Exercice 09:
Calculer les volumes engendrés par la rotation des surfaces ci-dessous autour de l’axe y ?
y
y
y
R
y
b
R
b
b a
a
x a x
x a
x
Exercice 10:
Déterminer le centre d’inertie d’un cône de hauteur h et de rayon de base R par rapport à son
sommet.
z
z
R
R
h
h
z
r
dv = πr
2
dz
x
y
x
y
Par raison de symétrie le centre d’inertie du cône est situé sur l’axe Oz. On choisit un élément
2
r R
R
de volume : dv = πr
dz et situé à une hauteur z tel que : = ⇒ r = z
z h
h
Le centre d’inertie est donné par :
z
G
=
1
m
∫
S
zdm
avec :
0 ≤ z ≤ h
Calculons d’abord la masse du cône. Nous avons :
dm = ρdv
h
2
2 3
R
R h
m = 2
2
1 2
ρ ∫ dv = ρ∫πr
dz = ρπ ∫ z dz = ρπ . = ρ πR
. h
2
2
h
h 3 3
S
S
0
d’où :
z
G
h
h
2
h
= 1 1
2 3 ⎛ R 2
⎞ 3 3
zdm z r dz z z dz z dz
m
∫ =
2
3
m
∫ ρπ =
= =
2
S
0
R h
∫ ρπ
⎜
0
h
⎟
ρπ ⎝ ⎠ h
∫
0
3
h
4
147