MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
Exercice 05:
En faisant tourner la surface limitée par l’axe oy, la courbe parabolique d’équation
y 2 = 4ax
et la droite d’équation
y = 2a
, nous obtenons un volume, comme représenté sur la figure cidessous.
Déterminer le centre d’inertie de ce volume.
y
y = 2a
B(a,2a)
y
dy
y
y 2 = 4ax
dy
y
dv = π x
2
dy
x
x
z
x
Solution :
Nous avons
y 2 = 4ax
⇒
2
y ⎧x = 0
x = pour : ⎨
4a
⎩ x = a
⇒
⇒
y = 0
y = 2a
La rotation de cette surface par rapport à l’axe des y donne un solide de révolution d’axe y.
Par raison de symétrie, le centre de masse sera sur l’axe Oy, alors : x = 0 et = 0
A un hauteur y , on choisi un élément de volume (couronne) dv ayant une surface circulaire
2
2
égale à π x et d’épaisseur dy tel que : dv = π x dy avec 0 ≤ y ≤ 2a
G
y G
Le volume total décrit par la rotation de cette surface est égal à :
V
2a
2a
4
5
2a
2
⎛ y ⎞ π ⎡ y ⎤
∫ π x dy = π
⎜ dy = . =
2
2 ⎢ ⎥
5
0
0
16a
⎟
⎝ ⎠ 16a
⎣ ⎦ 0
= ∫
2
πa
5
3
La coordonnée du centre de masse du volume suivant l’axe Oy est donnée par :
y
G
=
1
m
∫
S
ydm =
1
ρV
∫
S
1
yρdv
=
V
2a
∫
0
2 1
y.
πx
. dy =
V
2a
∫
0
2
⎛ y
⎟ ⎞
y.
π
⎜
⎝ 4a
⎠
2
. dy
y
G
2a
π 5 π
= y . dy
16a
V
∫ =
2 2
0
3
16a
. πa
5
6
⎡ y ⎤
⎢ ⎥
⎣ 6 ⎦
2a
2
=
0
5
a
3
145