MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
= 2
La masse du solide est donnée par : m ∫σds
= σR
∫ cosθdθ
∫ dψ
= σ 2πR
S
π / 2
0
2π
0
2
z
G
=
1
m
1
m
3
σR
σ 2πR
π / 2
∫ zdm = ∫ zσds
= ∫ cosθ
sinθdθ
∫ dψ
=
2
S
S
0
2π
0
R
2π
π / 2
∫
0
sinθd(sinθ
)
2π
∫
0
dψ
π / 2
2
R sin θ
z G
= .2π
=
2π
2 0
R
2
R
z G
= ; d’où :
2
⎧ xG
= 0
⎪
G⎨
yG
= 0
⎪
⎩zG
= R / 2
d) Les plans (xOz) et (yOz) sont des plans de symétrie donc : x y = 0 , le centre de
masse du solide est situé sur l’axe de symétrie (Oz). On a alors :
G
z
G
= G
1
=
m
Le solide est une demi sphère pleine, sa masse est donnée par : m = ρdv
où : ρ est la
∫
S
∫
S
dm
densité volumique et dv un élément de volume. L’élément de volume
par : dv = rdθ
rdψ
dr cosθ
et a pour coordonnées :
avec : 0 ≤ r ≤ R ;
π
0 ≤ θ ≤ ; 0 ≤ ψ ≤ 2π
2
La masse du solide est donnée par :
m
R π / 2 2π
= 2
∫ ρdv
= ρ∫
r dr ∫ cosθdθ
∫
S
0 0
0
on déduit :
2
dψ
= ρ πR
3
3
⎧r
⎪
dv⎨r
⎪
⎩
cosθ
cosψ
cosθ
sinψ
r sinθ
x
z
ψ
dv est donné
ds
θ
y
π / 2
3 R
R π / 2
2π
2
4
1 1
R sin
0
z = ρ
G
zdm = z dv = r dr cos sin d d
. .2
3
m m m
∫
ρ
θ
∫ ∫ ρ ∫ ∫ θ θ θ ψ =
π =
2 4 2
S
S
0 0
0
πR
ρ
3
3R
z G
= d’où :
8
⎧ xG
= 0
⎪
G⎨
yG
= 0
⎪
⎩zG
= 3R
/ 8
3
8
139