MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI En remplaçant par les opérateurs d’inertie on obtient : I G ( S) / R = I ( ) 0 O S / R − J ( ) 0 OG S / R0 En utilisant les relations trouvées précédemment, en changeant le centre du repère en G, nous déduisons facilement : Gxx Oxx 2 2 2 2 ( yG + zG ) − 2yG yG − 2zG zG ) = I Oxx − m( yG zG ) 2 2 2 2 ( xG + z A ) − 2xG xG − 2zG zG ) = I Oyy − m( xG z A ) 2 2 2 2 ( x + y ) − 2x x − 2y y ) = I − m( x y ) I = I + m + I = I + m + Gyy Gzz Oyy I = I + m + Ozz G G G De la même manière pour les produits d’inertie nous avons : I Gxy = I − m ( Oxy G G G Ozz ( xG yG + yG xG − xG yG ) = I Oxy − mxG yG G G I I Gxz Gyz = I − m ( Oxz = I − m ( Oyz ( xG zG + zG xG − xG zG ) = I Oxz − mxG zG ( yG zG + zG yG − yG zG ) = I Oyz − myG zG d’où : J OG ( S) R0 2 ⎡m( yG + z ⎢ = ⎢ − mxG y ⎢ ⎣ − mxG z 2 G G G ) − mx m( x G 2 G + − my G y z G 2 G z G ) − mx − my m( x G G 2 G z z G G 2 G + y ⎤ ⎥ ⎥ ) ⎥ ⎦ R 0 Ces expressions permettent de déterminer la matrice d’inertie du solide en O : I O S ( ) R0 , dans → → → R( 0 0 0 ( R0 le repère O, x , y , z ) , en connaissant la matrice d’inertie en G : I G S) dans le même repère car elle est plus souvent facile à déterminer. I = + O ( S) R I ( ) ( ) 0 G S R J 0 OG S R0 Cette expression permet de connaître les six relations de Huygens, qui lient les moments d’inertie et les produits d’inertie en un point O d’un repère et le centre d’inertie G du solide dans le même repère. 2 2 I = I + m( y + z ) I Oxy = I Gxy + mxG yG Oxx Gxx G G 2 2 I Oyy = I Gyy + m( xG + z A ) I Oxz = I Gxz + mxG zG 2 2 I Ozz = I Gzz + m( xG + yG ) I Oyz = I Gyz + myG zG 135

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Le théorème de Huygens est très pratique car il permet de déterminer le moment d’inertie d’un solide dans n’importe point O de l’espace centre du repère → → → R( O, x, y, z) , en connaissant le moment d’inertie au centre d’inertie G de coordonnées ( ( x , y , z ) par rapport au même repère. G G G Exemple : Déterminer le moment d’inertie au point O de la plaque mince rectangulaire de masse m , de longueur 2a et de largeur 2b de centre d’inertie G (a, b, 0) On détermine le moment d’inertie de la plaque au point G, puis par le théorème de Huygens, on le déduit au point O. Les plans (xGz) et (yGz) sont des plans de symétrie, alors tous les produits d’inertie sont nuls : I Gxy = I Gxz = I Gyz = 0 ; la matrice d’inertie en G est diagonale. y 2b 2a x Masse de la plaque : m = σ 4ab Nous avons un solide plan : z = 0 ⇒ I = I + I , Gzz Gxx Gyy I I I + a 2 = 2 2 2 2 2 3 b mb ∫ y dm = ∫ y σ ds = σ∫ y dxdy = σ ∫ dx ∫ y dy = σ.2a b = σ 4ab 3 3 3 Gxx = S S S −a −b + a 2 = 2 2 2 2 2 3 a ma ∫ x dm = ∫ x σ ds = σ∫ x dxdy = σ ∫ x dx ∫ dy = σ. a .2b = σ 4ab 3 3 3 Gxx = S S S −a −b m = ( a 3 2 Gzz = I Gxx + I Gyy + b 2 ) + b + b 2 2 136

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