MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
En remplaçant par les opérateurs d’inertie on obtient : I
G
( S)
/ R
= I ( )
0 O
S
/ R
− J ( )
0 OG
S
/ R0
En utilisant les relations trouvées précédemment, en changeant le centre du repère en G, nous
déduisons facilement :
Gxx
Oxx
2 2
2 2
( yG
+ zG
) − 2yG
yG
− 2zG
zG
) = I
Oxx
− m(
yG
zG
)
2 2
2 2
( xG
+ z
A
) − 2xG
xG
− 2zG
zG
) = I
Oyy
− m(
xG
z
A
)
2 2
2 2
( x + y ) − 2x
x − 2y
y ) = I − m(
x y )
I = I + m
+
I = I + m
+
Gyy
Gzz
Oyy
I = I + m
+
Ozz
G
G
G
De la même manière pour les produits d’inertie nous avons :
I
Gxy
= I − m (
Oxy
G
G
G
Ozz
( xG
yG
+ yG
xG
− xG
yG
) = I
Oxy
− mxG
yG
G
G
I
I
Gxz
Gyz
= I − m (
Oxz
= I − m (
Oyz
( xG
zG
+ zG
xG
− xG
zG
) = I
Oxz
− mxG
zG
( yG
zG
+ zG
yG
− yG
zG
) = I
Oyz
− myG
zG
d’où :
J
OG
( S)
R0
2
⎡m(
yG
+ z
⎢
= ⎢ − mxG
y
⎢
⎣ − mxG
z
2
G
G
G
)
− mx
m(
x
G
2
G
+
− my
G
y
z
G
2
G
z
G
)
− mx
− my
m(
x
G
G
2
G
z
z
G
G
2
G
+ y
⎤
⎥
⎥
) ⎥
⎦ R
0
Ces expressions permettent de déterminer la matrice d’inertie du solide en O :
I O
S
( )
R0
, dans
→ → →
R( 0 0 0
(
R0
le repère O,
x , y , z ) , en connaissant la matrice d’inertie en G : I G
S)
dans le même
repère car elle est plus souvent facile à déterminer.
I = +
O
( S)
R
I ( ) ( )
0 G
S
R
J
0 OG
S
R0
Cette expression permet de connaître les six relations de Huygens, qui lient les moments
d’inertie et les produits d’inertie en un point O d’un repère et le centre d’inertie G du solide
dans le même repère.
2 2
I = I + m(
y + z ) I
Oxy
= I
Gxy
+ mxG
yG
Oxx
Gxx
G
G
2 2
I
Oyy
= I
Gyy
+ m(
xG
+ z
A
) I
Oxz
= I
Gxz
+ mxG
zG
2 2
I
Ozz
= I
Gzz
+ m(
xG
+ yG
) I
Oyz
= I
Gyz
+ myG
zG
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