MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
10. Translation du repère R de centre O vers un centre A
On considère un solide (S) dont la matrice d’inertie est connue au point O d’un repère fixe
→ → →
(
0 0 0
R O,
x , y , z ) . Soit un point A de coordonnées x , y , z ) centre du repère
→ → →
(
0 0 0
→ → →
(
0 0 0
R A,
x , y , z ) en translation par rapport à R O,
x , y , z ) .
(
A A A
La matrice d’inertie au point A du solide (S) est donnée par :
I
A
( S)
R
0
⎡ I
⎢
= ⎢−
I
⎢
⎣−
I
Axx
Axy
Axz
− I
I
− I
Axy
Ayy
Ayz
− I
− I
I
Axz
Ayz
Azz
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦ R
0
→
z 0
→
x 0
A
→
z
0
→
y 0
Les éléments de cette matrice s’obtiennent en
−→
remplaçant le vecteur OP comme précédemment
par le vecteur
−→
AP dans l’opérateur d’inertie.
→
x 0
O
→
y 0
Nous avons en effet :
−→ −→ −→
→
→
→
AP = OP−
OA = ( x − x
A
) x0 + ( y − y
A
) y0
+ ( z − z
A
) z0
On obtient ainsi les moments et les produits d’inertie en A :
I
Axx
=
2
2
∫
( y − y
A
) + ( z − z
A
) )
( S )
dm
I
Axx
=
∫
( S )
( y
2
+ z
2
) dm + y
∫
2
A
( S )
dm + z
∫
2
A
( S)
dm − 2y
∫
A
( S )
ydm − 2z
∫
A
( S )
zdm
Soit m la masse du solide (S) et G son centre d’inertie. Les coordonnées x , y , z ) du
(
G G G
centre d’inertie dans le repère
→
→
→
R( O,
x0
, y0
, z0
) déjà exprimé au début du chapitre, ont pour
expression :
1
m
x
G
= ∫ xdm ;
G
= ∫
( S )
1
1
y ydm ; z
G
=
m
∫ zdm
m
( S )
( S )
∫
( S )
xdm = mx
G
∫
; ydm = my ;
( S )
G
∫
( S )
zdm = mz
G
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