MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
8.2. Produit vectoriel des vecteurs unitaires d’une base orthonormée
→ → →
(
1 2 3
Si b = e , e , e ) est orthonormée nous avons :
→ → →
1∧ 2
e3
→ → →
2
∧
3
e1
Sens direct : e e = , e e = , e
→ → →
3
∧ e1
= e2
→ → →
2
∧
1
e3
→ → →
3
∧
2
e1
Sens opposé : e e = − , e e = − ,
→ → →
e1 ∧ e3
= − e2
8.3. Expression analytique du produit vectoriel dans une base orthonormé direct
Le produit vectoriel de deux vecteurs
→
→
V 1 et V 2
de composantes respectives dans une base
orthonormée direct R:
⎧X
1
→
⎪
V
1=
⎨Y1
et
⎪
R ⎩Z1
⎧X
⎧ ⎧ −
→ ⎪ ⎪ ⎪
∧ → 1
X
2
Y1Z
2
Z1Y2
V
1
V2
= ⎨Y1
∧ ⎨Y2
= ⎨Z1X
2
− X
1Z
⎪ ⎪ ⎪
⎩Z1
⎩Z
2 ⎩ X
1Y2
− Y1
X
2
2
⎧X
2
→
⎪
V
2
= ⎨Y2
⎪
R ⎩Z
2
8.4. Produit mixte
→ → →
1 2
,
3
On appelle produit mixte de trois vecteurs V , V V pris dans cet ordre, le nombre réel défini
→
⎛ ⎞
par : V
→ ⎜ ∧ →
1
• V2
V3
⎟
⎝ ⎠
Le produit mixte est donc un scalaire égal au volume
du parallélépipède formé par les trois vecteurs.
Le produit mixte est nul, si :
- les trois vecteurs sont dans le même plan ;
- deux des vecteurs sont colinéaires ;
- l’un des vecteurs, est nul.
→
V 3
→
V 2
→
V
1
On montre facilement que, dans une base orthonormée directe, le produit mixte est un variant
scalaire par permutation circulaire direct des trois vecteurs car le produit scalaire est
commutatif:
→
⎛
V ⎜V2
∧V
⎝
⎞
⎟ = V
⎠
→
⎛
⎜V1
∧V
⎝
⎞
⎟ = V
⎠
→
⎛
⎜V3
∧
⎝
→
→ →
→ →
→
1
•
3 3
•
2 2
• V1
⎞
⎟
⎠
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